Пифагорова четвёрка
Пифагорова четвёрка — кортеж целых чисел [math]\displaystyle{ (a,b,c,d) }[/math] таких, что d > 0 и [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 = d^2 }[/math]. Пифагорова четвёрка [math]\displaystyle{ (a,b,c,d) }[/math] определяет прямоугольный параллелепипед с длинами сторон |a|, |b| и |c|, диагональ которого имеет длину d. Пифагоровы четвёрки также называются пифагоровыми блоками[1].
Параметризация примитивных четвёрок
Множество всех примитивных пифагоровых четвёрок, то есть тех, для которых НОД(a,b,c) = 1, имеет параметризацию[2][3][4]
- [math]\displaystyle{ a = m^2+n^2-p^2-q^2, }[/math]
- [math]\displaystyle{ b = 2(mq+np), }[/math]
- [math]\displaystyle{ c = 2(nq-mp), }[/math]
- [math]\displaystyle{ d = m^2+n^2+p^2+q^2, }[/math]
где m, n, p, q — натуральные целые, НОД(m, n, p, q) = 1 и m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким образом, все примитивные пифагоровы четвёрки описываются тождеством Лебега[5]
- [math]\displaystyle{ (m^2 + n^2 + p^2 + q^2)^2 = (2mq + 2np)^2 + (2nq - 2mp)^2 + (m^2 + n^2 - p^2 - q^2)^2. }[/math]
Альтернативная параметризация
Все пифагоровы четвёрки (включая непримитивные и с повторениями) можно получить из двух натуральных чисел a и b следующим образом:
Если [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] имеют различную чётность, возьмём любой множитель p числа [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ p^2 \lt a^2 + b^2 }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ c = (a^2 + b^2 - p^2)/(2p) }[/math] и [math]\displaystyle{ d = (a^2 + b^2 + p^2)/(2p). }[/math] Заметим, что [math]\displaystyle{ p = {d - c}. }[/math]
Похожий метод существует[6] для [math]\displaystyle{ a, b }[/math] чётных с дополнительным ограничением, что [math]\displaystyle{ 2p }[/math] должно быть чётным делителем числа [math]\displaystyle{ a^2 + b^2. }[/math] Такого метода не существует для случая, когда оба числа a и b нечётны.
Свойства
Наибольшее число, которое всегда делит произведение abcd, равно 12[7]. Четвёрка с минимальным произведением — (1, 2, 2, 3).
Связь с кватернионами и рациональными ортогональными матрицами
Примитивная пифагорова четвёрка [math]\displaystyle{ (a,b,c,d) }[/math], параметризованная с помощью [math]\displaystyle{ (m,n,p,q) }[/math], соответствует первому столбцу матричного представления [math]\displaystyle{ E(\alpha) }[/math] сопряжения [math]\displaystyle{ \alpha(\cdot)\overline{\alpha} }[/math] с помощью кватерниона Гурвица [math]\displaystyle{ \alpha = m + ni + pj + qk }[/math], суженного до подпространства [math]\displaystyle{ \mathbb{H} }[/math], натянутого на [math]\displaystyle{ i, j, k }[/math]
- [math]\displaystyle{ E(\alpha) = \begin{pmatrix} m^2+n^2-p^2-q^2&2np-2mq &2mp+2nq \\ 2mq+2np &m^2-n^2+p^2-q^2&2pq-2mn \\ 2nq-2mp &2mn+2pq &m^2-n^2-p^2+q^2\\ \end{pmatrix}, }[/math]
где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет норму d. Более того, [math]\displaystyle{ \frac{1}{d}E(\alpha) }[/math] [math]\displaystyle{ \in \text{SO}(3, \mathbb{Q}) }[/math], и, фактически, все 3 × 3 ортогональные матрицы с рациональными коэффициентами появляются таким образом[8].
Пифагоровы четвёрки с малой нормой
- (1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17), (1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21), (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29)
См. также
- Пифагорова тройка
- Теорема де Гуа
- Кватернионы и вращение пространства
- Формула Эйлера — Родригеса для вращения в трёхмерном пространстве
- Гипотеза Эйлера
- Гипотеза Била
- Уравнение Якоби — Маддена
- Задача Прухета — Тарри — Эскотта
- Число такси
- Задача о четырёх кубах
Примечания
- ↑ R. A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Pythagorean boxes // Math. Magazine. — 2001. — Т. 74. — С. 222—227.
- ↑ R. D. Carmichael. Diophantine Analysis. — New York: John Wiley & Sons, 1915. — Т. 16. — (MATHEMATICAL MONOGRAPHS).
- ↑ L. E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41—56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579—594.
- ↑ R. Spira. The diophantine equation [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = m^2 }[/math] // Amer. Math. Monthly. — 1962. — Т. 69. — С. 360—365.
- ↑ Lebesgue Identity . Дата обращения: 23 января 2022. Архивировано 23 января 2022 года.
- ↑ В. Серпинский. Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959. — С. 68.
- ↑ Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalising a result about Pythagorean triples // Mathematical Gazette. — March 2012. — Т. 96. — С. 91—96.
- ↑ J. Cremona. Letter to the Editor // Amer. Math. Monthly. — 1987. — Т. 94. — С. 757—758.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Pythagorean Quadruple (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Lebesgue's Identity (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Diophantine Analysis в проекте «Гутенберг».
- The complete parametrization derived using a Minkowskian Clifford Algebra
Для улучшения этой статьи желательно: |