Число такси

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

n-ое число такси, обычно обозначаемое Ta(n) или Taxicab(n), определяется как наименьшее число, которое может быть представлено как сумма двух положительных кубов n различными способами. Наиболее известное число такси — 1729 = Ta(2) = 13 + 123 = 93 + 103.

Название чи́сла получили из разговора в 1919 математиков Г. Х. Харди и Сриниваса Рамануджана. Харди рассказывал:

Я помню, пришёл раз навестить его (Рамануджана), лежащего в больнице в Питни. Я приехал на такси с номером 1729 и заметил в разговоре, что число скучное, и что я надеюсь, что это не является неблагоприятным знаком. «Нет, — ответил тот, — число очень интересно, это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!»[1][2]

Определение

Концепция впервые была упомянута в 1657 Бернаром Френиклем де Бесси и стала знаменитой в начале 20-го века благодаря Сринивасу Рамануджану. В 1938 Харди и Райт доказали, что такие числа существуют для всех положительных целых чисел n, и их доказательство легко превратить в программу для генерации таких чисел. Однако это доказательство не заботится о том, чтобы это число было минимальным , так что его нельзя использовать для поиска фактических значений Ta(n).

Ограничение на знак членов суммы необходимо, поскольку допущение отрицательных значений позволяет представить большее количество (и меньших) чисел выразить в виде суммы кубов n различными способами. Концепция числа извозчика[англ.] была предложена как менее ограничивающая альтернатива. В известном смысле количество слагаемых (два) и степень (куб) также является существенным ограничением. Обобщённое число такси ставит задачу для и для более чем двух слагаемых при произвольной степени.

Известные числа такси

Известны следующие шесть чисел такси последовательность A011541 в OEIS:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{Ta}(1) = 2 & = 1^3 + 1^3 \end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{Ta}(2) = 1729 & = 1^3 + 12^3 \\ & = 9^3 + 10^3 \end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{Ta}(3) = 87539319 & = 167^3 + 436^3 \\ & = 228^3 + 423^3 \\ & = 255^3 + 414^3 \end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{Ta}(4) = 6963472309248 & = 2421^3 + 19083^3 \\ & = 5436^3 + 18948^3 \\ & = 10200^3 + 18072^3 \\ & = 13322^3 + 16630^3 \end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{Ta}(5) = 48988659276962496 & = 38787^3 + 365757^3 \\ & = 107839^3 + 362753^3 \\ & = 205292^3 + 342952^3 \\ & = 221424^3 + 336588^3 \\ & = 231518^3 + 331954^3 \end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{Ta}(6) = 24153319581254312065344 & = 582162^3 + 28906206^3 \\ & = 3064173^3 + 28894803^3 \\ & = 8519281^3 + 28657487^3 \\ & = 16218068^3 + 27093208^3 \\ & = 17492496^3 + 26590452^3 \\ & = 18289922^3 + 26224366^3 \end{align} }[/math]

Оценки сверху чисел такси

Известны числа, которые можно представить суммами более 6 кубов, но для них не доказано, что они минимальные числа, обладающие этим свойством.[3]

[math]\displaystyle{ \begin{matrix}\operatorname{Ta}(7)& \le &24885189317885898975235988544\\&=&2648660966^3 + 1847282122^3 \\&=&2685635652^3 + 1766742096^3 \\&=&2736414008^3 + 1638024868^3 \\&=&2894406187^3 + 860447381^3 \\&=&2915734948^3 + 459531128^3 \\&=&2918375103^3 + 309481473^3\\&=&2919526806^3 + 58798362^3\\\\\end{matrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{matrix}\operatorname{Ta}(8)& \le &50974398750539071400590819921724352\\&=&299512063576^3 + 288873662876^3 \\&=&336379942682^3 + 234604829494^3 \\&=&341075727804^3 + 224376246192^3 \\&=&347524579016^3 + 208029158236^3 \\&=&367589585749^3 + 109276817387^3 \\&=&370298338396^3 + 58360453256^3\\&=&370633638081^3 + 39304147071^3\\&=&370779904362^3 + 7467391974^3\\\\\end{matrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{matrix}\operatorname{Ta}(9)& \le &136897813798023990395783317207361432493888\\&=&41632176837064^3 + 40153439139764^3 \\&=&46756812032798^3 + 32610071299666^3 \\&=&47409526164756^3 + 31188298220688^3 \\&=&48305916483224^3 + 28916052994804^3 \\&=&51094952419111^3 + 15189477616793^3 \\&=&51471469037044^3 + 8112103002584^3\\&=&51518075693259^3 + 5463276442869^3\\&=&51530042142656^3 + 4076877805588^3\\&=&51538406706318^3 + 1037967484386^3\\\\\end{matrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{matrix}\operatorname{Ta}(10)& \le &7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=&15695330667573128^3 + 15137846555691028^3 \\&=&17627318136364846^3 + 12293996879974082^3 \\&=&17873391364113012^3 + 11757988429199376^3 \\&=&18211330514175448^3 + 10901351979041108^3 \\&=&19262797062004847^3 + 5726433061530961^3 \\&=&19404743826965588^3 + 3058262831974168^3\\&=&19422314536358643^3 + 2059655218961613^3\\&=&19426825887781312^3 + 1536982932706676^3\\&=&19429379778270560^3 + 904069333568884^3\\&=&19429979328281886^3 + 391313741613522^3\\\\\end{matrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{matrix}\operatorname{Ta}(11)& \le &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=&11410505395325664056^3 + 11005214445987377356^3 \\&=&12815060285137243042^3 + 8937735731741157614^3 \\&=&12993955521710159724^3 + 8548057588027946352^3 \\&=&13239637283805550696^3 + 7925282888762885516^3 \\&=&13600192974314732786^3 + 6716379921779399326^3 \\&=&14004053464077523769^3 + 4163116835733008647^3\\&=&14107248762203982476^3 + 2223357078845220136^3\\&=&14120022667932733461^3 + 1497369344185092651^3\\&=&14123302420417013824^3 + 1117386592077753452^3\\&=&14125159098802697120^3 + 657258405504578668^3\\&=&14125594971660931122^3 + 284485090153030494^3\\\\\end{matrix} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{matrix}\operatorname{Ta}(12)& \le &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=&33900611529512547910376^3 + 32696492119028498124676^3 \\&=&38073544107142749077782^3 + 26554012859002979271194^3\\&=&38605041855000884540004^3 + 25396279094031028611792^3 \\&=&39334962370186291117816^3 + 23546015462514532868036^3 \\&=&40406173326689071107206^3 + 19954364747606595397546^3 \\&=&41606042841774323117699^3 + 12368620118962768690237^3 \\&=&41912636072508031936196^3 + 6605593881249149024056^3 \\&=&41950587346428151112631^3 + 4448684321573910266121^3 \\&=&41960331491058948071104^3 + 3319755565063005505892^3 \\&=&41965847682542813143520^3 + 1952714722754103222628^3 \\&=&41965889731136229476526^3 + 1933097542618122241026^3 \\&=&41967142660804626363462^3 + 845205202844653597674^3\end{matrix} }[/math]


История открытия

Число Ta(2), известное также как число Харди –Рамануджана, первым опубликовал Бернар Френикль де Бесси в 1657 году.[4]

Джон Лич получил Ta(3) в 1957. Е. Розенталь, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенталь нашли Ta(4) в 1989 [5]. Дж. А. Дардис нашёл Ta(5) в 1994 и подтвердил Дэвид В. Уилсон в 1999 [6][7]. О числе Ta(6) объявил Уве Холлербах на сайте NMBRTHRY (Number Theory Wiki) 9 марта 2008 [8][9]. Верхние границы для чисел Ta(7) — Ta(12) нашёл Христиан Бойер в 2006[3].

Числа такси без кубов

Задача чисел такси с более строгими ограничениями, в которой требуется, чтобы числа не содержали кубы, то есть что числа не делились на кубы чисел, отличных от 13. Тогда число такси T записывается как T = x3 + y3, где числа x и y должны быть взаимно просты. Среди чисел такси Ta(n), перечисленных выше, только Ta(1) и Ta(2) не содержат кубов. Наименьшее число такси без кубов с тремя вариантами представления обнаружил Поль Войта[англ.] (не опубликовано) в 1981, когда он был аспирантом. Это число

15170835645
= 5173 + 24683
= 7093 + 24563
= 17333 + 21523.

Наименьшее число такси без кубов с четырьмя вариантами представления обнаружил Стюарт Гаскойн и, независимо, Дункан Мур в 2003. Это число

1801049058342701083
= 922273 + 12165003
= 1366353 + 12161023
= 3419953 + 12076023
= 6002593 + 11658843

последовательность A080642 в OEIS.

См. также

Примечания

  1. ↑ Quotations by G. H. Hardy, MacTutor History of Mathematics Архивировано 16 июля 2012 года.
  2. ↑ Silverman, 1993, с. 331–340.
  3. ↑ 3,0 3,1 "'New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers" Christian Boyer, France, 2006–2008
  4. ↑ Thomas Ward, G. Everest. An Introduction to Number Theory (неопр.). — London: Springer Science+Business Media, 2005. — С. 117—118. — ISBN 9781852339173..
  5. ↑ Numbers Count column, Personal Computer World, page 234, November 1989
  6. ↑ Numbers Count column of Personal Computer World, page 610, Feb 1995
  7. ↑ "The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496" by David W. Wilson
  8. ↑ NMBRTHRY Archives – March 2008 (#10) "The sixth taxicab number is 24153319581254312065344" by Uwe Hollerbach
  9. ↑ C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), pp. 1196–1203

Литература

  • Joseph H. Silverman. Taxicabs and sums of two cubes // Amer. Math. Monthly. — 1993. — Т. 100. — С. 331—340. — doi:10.2307/2324954.
  • G. H. Hardy, E. M. Wright. Thm. 412 // An Introduction to the Theory of Numbers (англ.). — 3rd ed.. — London & NY: Oxford University Press, 1954.
  • J. Leech. Some Solutions of Diophantine Equations // Proc. Cambridge Phil. Soc.. — 1957. — Вып. 53. — С. 778—780.
  • E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel. online The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equations = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3 // Bull. Inst. Math. Appl.. — 1991. — Вып. 27. — С. 155—157.
  • David W. Wilson. The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496 // Journal of Integer Sequences. — 1999. — Т. 2. Wilson was unaware of J. A. Dardis' prior discovery of Ta(5) in 1994 when he wrote this.
  • D. J. Bernstein. Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d) // Mathematics of Computation. — 2000. — Т. 70, вып. 233. — С. 389—394.
  • C. S. Calude, E. Calude, M. J. Dinneen:. What is the value of Taxicab(6)? // Journal of Universal Computer Science. — 2003. — Т. 9. — С. 1196—1203.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Число_такси&oldid=5827226