Сужение функции

Сужение функции на подмножество [math]\displaystyle{ X }[/math] её области определения [math]\displaystyle{ D\supset X }[/math] — функция с областью определения [math]\displaystyle{ X }[/math], совпадающая с исходной функцией на всём [math]\displaystyle{ X }[/math].

Сужение функции [math]\displaystyle{ f }[/math] на [math]\displaystyle{ X }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ f|_X }[/math] или [math]\displaystyle{ f|X }[/math]. Так, для [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math], и [math]\displaystyle{ X\subset A }[/math], [math]\displaystyle{ g=f|_X }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ g:X\to B }[/math] и [math]\displaystyle{ g(x)=f(x) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ x\in X }[/math].

Определение

Пусть дано отображение [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math] и [math]\displaystyle{ M\subset X }[/math].

Функция [math]\displaystyle{ g\colon M\to Y }[/math], которая принимает на [math]\displaystyle{ M }[/math] те же значения, что и функция [math]\displaystyle{ f }[/math], называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции [math]\displaystyle{ f }[/math] на множество [math]\displaystyle{ M }[/math].

Вариации и обобщения

Наиболее общее определение сужения реализуется в контексте пучков^{[уточнить]}.
Для функции [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] рассматривают также сужение на подмножество [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]

Продолжение

Если функция [math]\displaystyle{ g\colon M\to Y }[/math] такова, что она является сужением для некоторой функции [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math], то функция [math]\displaystyle{ f }[/math], в свою очередь, называется продолжением функции [math]\displaystyle{ g }[/math] на множество [math]\displaystyle{ X }[/math].

Имея некоторую функцию [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math], её можно продолжить бесконечным числом способов на множество [math]\displaystyle{ M\supset X }[/math], в том числе непрерывным образом. Однако, если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] — аналитическая функция в [math]\displaystyle{ X }[/math], то существует единственное аналитическое продолжение на [math]\displaystyle{ M }[/math].