Перейти к содержанию

Задача о четырёх кубах

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения:

[math]\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=w^3. }[/math]

Следует отметить, что в то время как предложено несколько полных решений этого уравнения в рациональных числах, его полное решение в целых числах на 2018 год неизвестно[1].

История

Еще Платону было известно, что сумма кубов сторон пифагорейского треугольника также является кубом [math]\displaystyle{ 3^3+4^3+5^3=6^3 }[/math][2], о чем он упоминает в своем «Государстве»[3].

Примеры целочисленных решений

Наименьшие натуральные решения:

[math]\displaystyle{ 3^3+4^3+5^3=6^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1^3+6^3+8^3=9^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3^3+10^3+18^3=19^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 7^3+14^3+17^3=20^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4^3+17^3+22^3=25^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 18^3+19^3+21^3=28^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 11^3+15^3+27^3=29^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^3+17^3+40^3=41^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 6^3+32^3+33^3=41^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 16^3+23^3+41^3=44^3 }[/math]

Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:

[math]\displaystyle{ -1^3+9^3+10^3=12^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ -2^3+9^3+15^3=16^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ -2^3+15^3+33^3=34^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ -2^3+41^3+86^3=89^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ -3^3+22^3+59^3=60^3 }[/math]

Полные рациональные параметризации

Г. Харди и Райт (1938)[4][5]
  • [math]\displaystyle{ x=-a(b-3c)(b^2+3c^2)+a^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=\quad a(b+3c)(b^2+3c^2)-a^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=\quad a^3(b-3c)-(b^2+3c^2)^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=\quad a^3(b+3c)-(b^2+3c^2)^2 }[/math]
Н. Элкис[1]
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x = d(-(s+r)t^2 + (s^2+2r^2) t - s^3 + rs^2 - 2r^2s - r^3), \\ y = d(t^3 - (s+r)t^2 + (s^2+2r^2) t + rs^2 - 2r^2s + r^3), \\ z = d(-t^3 + (s+r)t^2 - (s^2+2r^2) t + 2rs^2 - r^2s + 2r^3), \\ w = d((s-2r)t^2 + (r^2-s^2) t + s^3 - rs^2 + 2r^2s - 2r^3) \end{cases} }[/math]

Другие серии решений

Леонард Эйлер, 1740 год
  • [math]\displaystyle{ x=1-(a-3b)(a^2+3b^2) }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=-1+(a+3b)(a^2+3b^2) }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=-a-3b+(a^2+3b^2)^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=-a+3b+(a^2+3b^2)^2 }[/math]
Линник, 1940 год
  • [math]\displaystyle{ x=b(a^6-b^6) }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=a(a^6-b^6) }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=b(2a^6+3a^3b^3+b^6) }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=a(a^6+3a^3b^3+2b^6) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=a^2(b^6-7)+9ac-3c^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=a^2 \big [b^3(2b^3+9)+7 \big ]-3ac(2b^3+3)+3c^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=a^2 b \big [b^3(b^3+3)+2 \big ]-3abc(b^3+2)+3bc^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=a^2 b \big [b^3(b^3+6)+11 \big ]-3abc(b^3+4)+3bc^2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=3a^2(b^6-7)-9ac-c^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=3a^2 \big [b^3(2b^3-9)+7 \big ]-3ac(2b^3-3)+c^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=3a^2 b \big [b^3(b^3-6)+11 \big ]-3abc(b^3-4)+bc^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=3a^2 b \big [b^3(b^3-3)+2 \big ]-3abc(b^3-2)+bc^2 }[/math]
Roger Heath-Brown[1], 1993 год
  • [math]\displaystyle{ x=9a^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=3a-9a^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=1-9a^3 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=1 }[/math]
Морделл, 1956 год
  • [math]\displaystyle{ x=9a^3b+b^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=9a^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=-b^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=9a^4+3ab^3 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=9a^3b-b^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=9a^4-3ab^3 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=b^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=9a^4 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=9a^3b+b^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=9a^3b-b^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=9a^4-3ab^3 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=9a^4+3ab^3 }[/math]
Решение, полученное методом алгебраической геометрии (en:Fermat cubic)
  • [math]\displaystyle{ x=3a\left (a^2+ab+b^2 \right )-9 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=\left (a^2+ab+b^2 \right )^2-9a }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=3 \left (a^2+ab+b^2 \right )(a+b)+9 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=\left (a^2+ab+b^2 \right )^2+9(a+b) }[/math]
Рамануджан
  • [math]\displaystyle{ x=3a^2+5ab-5b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=4a^2-4ab+6b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=5a^2-5ab-3b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=6a^2-4ab+4b^2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=a^7-3a^4(1+b)+a(2+6b+3b^2) }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=2a^6-3a^3(1+2b)+1+3b+3b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=a^6-1-3b-3b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=a^7-3a^4b+a(3b^2-1) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=-a^2+9ab+b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=a^2+7ab-9b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=2a^2-4ab+12b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=2a^2+10b^2 }[/math]
Неизвестный автор, 1825 год
  • [math]\displaystyle{ x=a^9-3^6 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=-a^9+3^5a^3+3^6 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=3^3a^6+3^5a^3 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=3^2a^7+3^4a^4+3^6a }[/math]
Д. Лемер, 1955 год
  • [math]\displaystyle{ x=3888a^{10}-135a^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=-3888a^{10}-1296a^7-81a^4+3a }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=3888a^9+648a^6-9a^3+1 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=1 }[/math]
В. Б. Лабковский
  • [math]\displaystyle{ x=4b^2-11b-21 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=3b^2+11b-28 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=5b^2-7b+42 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=6b^2-7b+35 }[/math]
Харди и Райт
  • [math]\displaystyle{ x=a(a^3-2b^3) }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=b(2a^3-b^3) }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=b(a^3+b^3) }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=a(a^3+b^3) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=a(a^3-b^3) }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=b(a^3-b^3) }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=b(2a^3+b^3) }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=a(a^3+2b^3) }[/math]
Г. Александров, 1972 год
  • [math]\displaystyle{ x=7a^2+17ab-6b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=42a^2-17ab-b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=56a^2-35ab+9b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=63a^2-35ab+8b^2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=7a^2+17ab-17b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=17a^2-17ab-7b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=14a^2-20ab+20b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=20a^2-20ab+14b^2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=21a^2+23ab-19b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=19a^2-23ab-21b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=18a^2+4ab+28b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=28a^2+4ab+18b^2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=3a^2+41ab-37b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=37a^2-41ab-3b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=36a^2-68ab+46b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=46a^2-68ab+36b^2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x=-4a^2+22ab-9b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=36a^2-22ab+b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=40a^2-40ab+12b^2 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=48a^2-40ab+10b^2 }[/math]
Ajai Choudhry, 1998 год[6]
  • [math]\displaystyle{ dx_1=(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4)+(2a+b)c^3, }[/math]
    [math]\displaystyle{ dx_2=-\{a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4-(a-b)c^3\}, }[/math]
    [math]\displaystyle{ dx_3=c(-a^3+b^3+c^3), }[/math]
    [math]\displaystyle{ dx_4=-\{(2a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)c+c^4\}, }[/math]

где числа [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math] — произвольные целые, а число [math]\displaystyle{ d\ne 0 }[/math] выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие [math]\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)=1 }[/math].

Коровьев, 2012 год
  • [math]\displaystyle{ x=-(2a^2-2ab-b^2)cd^3-(a^2-ab+b^2)^2 c^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ y=\quad(2a^2-2ab-b^2)c^3d+(a^2-ab+b^2)^2 d^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ z=\quad(a^2+2ab-2b^2)c^3d-(a^2-ab+b^2)^2 d^4 }[/math]
    [math]\displaystyle{ w=\quad(a^2+2ab-2b^2)cd^3-(a^2-ab+b^2)^2 c^4 }[/math]

где [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b \, , \, c }[/math] и [math]\displaystyle{ d }[/math] — любые целые числа.[7]

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 Cohen, Henri[англ.]. 6.4 Diophantine Equations of Degree 3 // Number Theory – Volume I: Tools and Diophantine Equations (англ.). — Springer-Verlag, 2007. — Vol. 239. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-49922-2.
  2. ↑ Перельман Я.И. Занимательная алгебра / Под редакцией и с дополнениями В.Г. Болтянского.. — Издание одиннадцатое. — Москва: Издательство «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы, 1967. — С. 120—121. — 200 с.
  3. ↑ Марио Ливио. φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания. — АСТ, 2015. — С. 110. — ISBN 978-5-17-094497-2.
  4. ↑ An introduction to the theory of numbers (англ.). — First ed.. — Oxford: Oxford University Press, 1938.
  5. ↑ Цитата из раздела "1.3.7 Уравнение [math]\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=t^3 }[/math]" из книги Харди и Райта
  6. ↑ Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes Архивная копия от 21 июля 2020 на Wayback Machine. Rocky Mountain J. Math. Volume 28, Number 4 (1998), 1251-1257.
  7. ↑ Во многих случаях числа [math]\displaystyle{ x, y, z, w }[/math] имеют общие делители. Чтобы получить примитивную четверку чисел, достаточно сократить каждое из чисел на их наибольший общий делитель.

Литература

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Задача_о_четырёх_кубах&oldid=5868223