Гипотеза Эйлера
Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа [math]\displaystyle{ n \gt 2 }[/math] никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы [math]\displaystyle{ (n - 1) }[/math] [math]\displaystyle{ n }[/math]-х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:
- [math]\displaystyle{ \begin{matrix} a^3+b^3=c^3 \\ a^4+b^4+c^4=d^4 \\ a^5+b^5+c^5+d^5=e^5 \\ \dots \\ \sum\limits_{k=1}^{n-1} a_k^n = a_n^n \end{matrix} }[/math]
не имеют решения в натуральных числах. Опровергнута.
Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.
Контрпримеры
n = 5
В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж с помощью суперкомпьютера CDC 6600 нашли первый контрпример для n = 5:[1][2]
- [math]\displaystyle{ 27^5+84^5+110^5+133^5=144^5. }[/math]
n = 4
В 1986 году Ноам Элкис нашёл контрпример для случая n = 4:[3][4]
- [math]\displaystyle{ 2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4. }[/math]
В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:[5][4]
- [math]\displaystyle{ 95800^4+217519^4+414560^4=422481^4. }[/math]
Обобщения
В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж высказали гипотезу, что если [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k }[/math], где [math]\displaystyle{ a_i \ne b_j }[/math] — положительные целые числа, [math]\displaystyle{ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, m} }[/math], то [math]\displaystyle{ m + n \geqslant k }[/math].
В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k }[/math], то [math]\displaystyle{ n \geqslant k - 1 }[/math].
Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k }[/math], где [math]\displaystyle{ a_i \ne b_j }[/math], называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet[6] и yoyo@home.
См. также
Примечания
- ↑ L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079
- ↑ L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge. A survey of equal sums of like powers (англ.) // Math. Comp. : journal. — 1967. — Vol. 21. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0.
- ↑ Noam Elkies. On A4 + B4 + C4 = D4 (англ.) // Mathematics of Computation. — 1988. — Vol. 51, no. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — .
- ↑ 4,0 4,1 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project Архивная копия от 3 сентября 2015 на Wayback Machine, 2011, препринт.
- ↑ Frye, Roger E. (1988), Finding 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 on the Connection Machine, Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, с. 106–116, DOI 10.1109/SUPERC.1988.74138
- ↑ EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine.
Ссылки
- EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine
- Гипотеза Эйлера Архивная копия от 21 июня 2013 на Wayback Machine