Операда

Операда даёт общий подход к описанию таких свойств, как коммутативность или антикоммутативность, а также различные вариации ассоциативности. Отношение алгебры и операды похожи на отношение представлений групп и групп.

Определение

Операда (клон полилинейных операций) — семейство множеств [math]\displaystyle{ \{ R_n, \; n\geqslant 1 \} }[/math] с левым действием симметрических групп [math]\displaystyle{ S_n }[/math] на соответствующих [math]\displaystyle{ R_n }[/math] и с операциями композиции:

[math]\displaystyle{ R_{n_1}\times\ldots\times R_{n_m}\times R_m \to R_{n_1+\ldots+n_m}:(r_1,\;\ldots,\;r_m,\;r)\to r_1\ldots r_mr, }[/math]

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

[math]\displaystyle{ (r_{11}r_{21}\ldots r_{k_11}r_1)\ldots(r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_mm}r_m)r=(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_11}\ldots r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_mm})(r_1\ldots r_mr) }[/math]

и наличию единицы [math]\displaystyle{ \varepsilon\in R_1:(\varepsilon\ldots\varepsilon)r=r,\quad r\varepsilon=r }[/math].

Операда называется линейной, если [math]\displaystyle{ R_n }[/math] являются пространствами, действия симметрических групп [math]\displaystyle{ S_n }[/math] являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство [math]\displaystyle{ A }[/math] c полилинейными операциями композиции:

[math]\displaystyle{ A^{\otimes n}\otimes_{S_n}R_n\to A:a_1\otimes\ldots\otimes a_n\otimes r\to a_1\ldots a_nr }[/math]

со свойствами унитарности [math]\displaystyle{ a\varepsilon=a }[/math] и обобщённой ассоциативности:

[math]\displaystyle{ (a_{11}a_{21}\ldots a_{k_11}r_1)\ldots(a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_mm}r_m)r=(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_11}\ldots a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_mm})(r_1\ldots r_mr). }[/math]

Примеры

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

• Простейшей операдой является ассоциативное кольцо [math]\displaystyle{ R }[/math] с единицей: [math]\displaystyle{ R_1=R,\quad R_{\gt 1}=\{0\} }[/math]. Алгебра над ней — это правый [math]\displaystyle{ R }[/math]-модуль.
• Структуру линейной операды можно определить на семействе групповых алгебр над симметрическими группами [math]\displaystyle{ \{k(S_n),\;n\geqslant 1\} }[/math], а также и на [math]\displaystyle{ \{k(G^n),\;n\geqslant 1\} }[/math], где [math]\displaystyle{ G }[/math] — моноид.

История

Алгебры над операдами, без явного определения этих понятий, были впервые по существу использованы американским математиком Джеймсом Сташефом в статье 1963 года. Композиционные комплексы были введены американским математиком Мюрреем Герстенхабером в статье 1968 года. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года. Немного позднее родственное понятие операд и алгебр над ними было открыто американским топологом Дж. Питером Мэем. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Питера Мэя. Примерно в то же самое время американский тополог Майкл Бордман и немецкий тополог Райнер Фогт написали труд, считающийся классическим в теории операд, используя вместо этого названия ПРОПы Маклейна и алгебраические теории Ловера.

Литература

• Stasheff J. D. Homotopy Associativity of H-Spaces. I // Transactions of the American Mathematical Society. — 1963. — vol. 108. — No. 2. — pp. 275—292.
• Gerstenhaber M. On the deformations of rings and algebras:III // Annals of Mathematics, Second Series. — 1968. — vol. 88. — No. 1. — pp. 1—34.
• Артамонов В. А. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры // УМН. — 1969. — т. 24. — № 1. — с. 47—59.
• May J. P. The geometry of iterated loop spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 271. — Berlin: Springer-Verlag, 1972. — 175 p.
• Boardman J. M.; Vogt R. M. Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 347. — Berlin: Springer-Verlag, 1973.