Групповое кольцо

Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо [math]\displaystyle{ K[G] }[/math] — это свободный модуль над кольцом [math]\displaystyle{ K, }[/math] базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы [math]\displaystyle{ G, }[/math] умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности».

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] — кольцо, а [math]\displaystyle{ G }[/math] — группа. Тогда групповым кольцом [math]\displaystyle{ K[G] }[/math] называется множество конечных формальных сумм вида [math]\displaystyle{ \alpha=\sum_{g\in G}a_g g,\quad a_g\in K }[/math], которые складываются и умножаются следующим образом:

Если [math]\displaystyle{ \alpha=\sum_{g\in G}a_g g, \ \beta=\sum_{g\in G}b_g g }[/math], то

[math]\displaystyle{ \alpha+\beta=\sum_{g\in G}(a_g+b_g) g }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha\cdot\beta=\sum_{g\in G}\left(\sum_{xy=g,\atop x, y\in G}a_xb_y\right)g }[/math].

Свойства

• Если [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] коммутативны, то [math]\displaystyle{ K[G] }[/math] коммутативно.
• Если [math]\displaystyle{ K }[/math] — кольцо с единицей, то [math]\displaystyle{ K[G] }[/math] — кольцо с единицей.
• Вложение [math]\displaystyle{ G }[/math] в [math]\displaystyle{ K[G] }[/math] образует базис группового кольца.
• Если [math]\displaystyle{ H }[/math] — подгруппа [math]\displaystyle{ G }[/math], то [math]\displaystyle{ K[H] }[/math] — подкольцо кольца [math]\displaystyle{ K[G] }[/math].
• Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] является полем, тогда каждому элементу [math]\displaystyle{ G }[/math] можно сопоставить линейное преобразование векторного пространства [math]\displaystyle{ K[G] }[/math] — умножение на соответствующий базисный вектор слева. Это сопоставление задаёт регулярное представление группы.

Литература

• Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Наймарк М. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.