Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math] — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение

[math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math] определена для всех натуральных чисел [math]\displaystyle{ n }[/math] и принимает значения [math]\displaystyle{ {-1,\;0,\;1} }[/math] в зависимости от характера разложения числа [math]\displaystyle{ n }[/math] на простые сомножители:

[math]\displaystyle{ \mu(n)=1 }[/math], если [math]\displaystyle{ n }[/math] свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение [math]\displaystyle{ n }[/math] на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
[math]\displaystyle{ \mu(n)=-1 }[/math], если [math]\displaystyle{ n }[/math] свободно от квадратов и разложение [math]\displaystyle{ n }[/math] на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
[math]\displaystyle{ \mu(n)=0 }[/math], если [math]\displaystyle{ n }[/math] не свободно от квадратов.

По определению также полагают [math]\displaystyle{ \mu(1)=1 }[/math].

У Ивана Матвеевича Виноградова в книге «‎Элементы высшей математики» встречается следующее определение функции Мёбиуса:

Функция Мёбиуса — мультипликативная функция, определённая равенствами: [math]\displaystyle{ \mu\,(p)=-1,\; \mu\,(p^{\alpha})=0,\;\text{если}\;\alpha\gt 1. }[/math]

Из этих двух равенств и мультипликативности самой функции выводятся её значения для всех натуральных аргументов.

Свойства и приложения

Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] выполняется равенство [math]\displaystyle{ \mu(ab)=\mu(a)\mu(b) }[/math].

Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа [math]\displaystyle{ n }[/math], не равного единице, равна нулю

[math]\displaystyle{ \sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n\gt 1.\end{cases} }[/math]

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)\left[\frac{n}{k}\right]=1. }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k n)}{k}=0, }[/math] где n — положительное целое число.

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln k}{k}=-1. }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\mu(2k+1)\ln (2k+1)}{2k+1}=-2. }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln^{2} k}{k}=-2\gamma, }[/math] где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — это постоянная Эйлера.

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\mu(2k+1)\ln^{2} (2k+1)}{2k+1} = -4(\gamma+ln2). }[/math]

Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)} }[/math].

Ряд абсолютно сходится при [math]\displaystyle{ {\rm Re}\, s \gt 1 }[/math], на прямой [math]\displaystyle{ {\rm Re}\, s = 1 }[/math] сходится условно, в области [math]\displaystyle{ 1/2 \lt {\rm Re}\, s \lt 1 }[/math] утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при [math]\displaystyle{ {\rm Re}\, s \lt 1/2 }[/math] ряд заведомо не сходится, даже условно.

При [math]\displaystyle{ {\rm Re}\, s \gt 1 }[/math] справедлива также формула:

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{|\mu(n)|}{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(p n)}{n^{s}} = \frac{p^{s}}{(1-p^{s}) \zeta(s)}, }[/math] где p — простое число.

Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана

[math]\displaystyle{ M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k). }[/math]

Справедливы асимптотические соотношения:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} \mu(n) = o(1) }[/math] при [math]\displaystyle{ x\rightarrow \infty }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} |\mu(n)| = \frac{1}{\zeta(2)} + O(\frac{1}{\sqrt x}) }[/math],

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна [math]\displaystyle{ 1 - 1/\zeta(2) = 0,3920729 }[/math], а плотность множества единиц (или минус единиц) [math]\displaystyle{ 1/2\zeta(2) = 0,30396355 }[/math]. На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math],

[math]\displaystyle{ g(n)=\sum_{d\,\mid\, n}f(d) }[/math]

тогда и только тогда, когда

[math]\displaystyle{ f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g \left (\frac{n}{d} \right ) }[/math].

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], определённых при [math]\displaystyle{ x\geqslant 1 }[/math],

[math]\displaystyle{ g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right) }[/math]

тогда и только тогда, когда

[math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right) }[/math].

Здесь сумма [math]\displaystyle{ \sum_{n\leqslant x} }[/math] интерпретируется как [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor} }[/math].

Обобщённая функция Мёбиуса

Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения [math]\displaystyle{ \prec }[/math]. Будем считать, что [math]\displaystyle{ a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b }[/math].

Определение

Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.

[math]\displaystyle{ {\mu_A^*}(a,b) = \begin{cases}1, & a=b \\ -\sum \limits_{a \preccurlyeq z \prec b} {{\mu_A^*}(a,z)}, & a \prec b \\ 0, & a \not\preccurlyeq b\end{cases} }[/math]

Формула обращения

Пусть функции [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ f }[/math] принимают вещественные значения на множестве [math]\displaystyle{ A }[/math] и выполнено условие [math]\displaystyle{ g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)} }[/math].

Тогда [math]\displaystyle{ f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)} }[/math]

Связь с классической функцией Мёбиуса

Если взять в качестве [math]\displaystyle{ A }[/math] множество натуральных чисел, приняв за отношение [math]\displaystyle{ a \prec b }[/math] отношение [math]\displaystyle{ a \mid b \land a \not = b }[/math], то получим [math]\displaystyle{ {\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a}}\right) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mu }[/math] - классическая функция Мёбиуса.

Это, в частности, означает, что [math]\displaystyle{ \mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n) }[/math], и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества [math]\displaystyle{ \sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0 }[/math], так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

См. также

Свёртка Дирихле

Литература

Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Ссылки

Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
Обобщённая формула обращения Мёбиуса