Мультипликативная функция

Мультипликативная функция в теории чисел ― арифметическая функция [math]\displaystyle{ f(m) }[/math], такая, что для любых взаимно простых чисел [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ m_2 }[/math] выполнено:

[math]\displaystyle{ f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2) }[/math]

и

[math]\displaystyle{ f(1)=1 }[/math].

При выполнении первого условия, требование [math]\displaystyle{ f(1)=1 }[/math] равносильно тому, что функция [math]\displaystyle{ f(m) }[/math] не равна тождественно нулю.

Функции [math]\displaystyle{ f(m) }[/math], для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных [math]\displaystyle{ m_1, m_2 }[/math], называются вполне мультипликативными. Функция [math]\displaystyle{ f }[/math] вполне мультипликативна тогда и только тогда, когда для любых натуральных [math]\displaystyle{ x,y }[/math] выполняется соотношение [math]\displaystyle{ f(xy)=f(x)f(y) }[/math].

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если:

[math]\displaystyle{ f(p^\alpha) = f(p) }[/math]

для всех простых [math]\displaystyle{ p }[/math] и всех натуральных [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].

Примеры:

• функция [math]\displaystyle{ \tau(m) }[/math] ― число натуральных делителей натурального [math]\displaystyle{ m }[/math];
• функция [math]\displaystyle{ \sigma(m) }[/math] ― сумма натуральных делителей натурального [math]\displaystyle{ m }[/math];
• функция Эйлера [math]\displaystyle{ \varphi(m) }[/math];
• функция Мёбиуса [math]\displaystyle{ \mu(m) }[/math].
• функция [math]\displaystyle{ \frac{\varphi(m)}{m} }[/math] является сильно мультипликативной.
• степенная функция [math]\displaystyle{ f(m)=m^\alpha }[/math] является вполне мультипликативной.

Построение

Из основной теоремы арифметики следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] на простых числах и их степенях, а также определить [math]\displaystyle{ f(1) = 1; }[/math] все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.

Произведение любых мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.

Если [math]\displaystyle{ f(m) }[/math] — мультипликативная функция, то функция

[math]\displaystyle{ g(m) = \sum_{d|m} f(d) }[/math]

также будет мультипликативной. Обратно, если функция [math]\displaystyle{ g(m) }[/math], определённая этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция [math]\displaystyle{ f(m) }[/math] также мультипликативна.

Более того, если [math]\displaystyle{ f(m) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(m) }[/math] — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свёртка Дирихле:

[math]\displaystyle{ h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right) }[/math]

Литература

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.