Нормальные волны
Норма́льные или со́бственные во́лны — гармонические волны, которые могут существовать в некоторой линейной динамической системе с постоянными не обязательно однородными распределёнными параметрами в случае пренебрежимо малого поглощения (диссипации) и рассеивания энергии волны.
Нормальные волны являются обобщением понятия нормальных колебаний и описывают распространение волн в неограниченном или частично ограниченном пространстве, например, в полупространстве. Особую роль нормальные волны играют в теории волноводов, волновых каналов оптоволоконных линий, колебаний полубесконечных струн и др.
Если размеры ограниченного пространства, где распространяются волны, велики по сравнению с длиной волны колебания, то типы колебаний можно описывать в такой системе как в терминах нормальных колебаний, так и собственных волн, например, акустические волны в большом помещении.
Свойства
Для нормальных волн справедливы следующие достаточно общие утверждения:
- каждая нормальная волна в данной системе может распространяться без стороннего воздействия и может быть возбуждена специальным подбором начальных условий без побочного возбуждения каких-либо других нормальных волн;
- любое волновое движение произвольной формы всегда может быть представлено как суперпозиция нормальных волн в пространстве и времени;
- временно́й спектр нормальных волн является сплошным, и любая волна может быть представлена в виде интеграла по всем нормальным волнам.
Математическое описание
Простейшим случаем является среда, параметры которой не меняются вдоль одного из направления (например, вдоль оси [math]\displaystyle{ z }[/math]). Такая ситуация характерна, например, для прямолинейных однородных волноводов. Тогда нормальные волны являются гармоническими не только во времени, но и в пространстве в направлении оси [math]\displaystyle{ z }[/math], и поэтому каждая из таких волн может быть математически записана в виде частного решения волнового уравнения для одномерного случая:
- [math]\displaystyle{ a_i = A_i(\vec r_{\perp}, \omega)\cos(\omega t - k_z z), }[/math]
- где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — частота волнового колебания;
- [math]\displaystyle{ k_z }[/math] — продольное волновое число — модуль волнового вектора;
- [math]\displaystyle{ A_i }[/math] — распределение амплитуды нормальной волны, зависящее только от поперечного радиус-вектора [math]\displaystyle{ \vec r_\perp }[/math].
В общем случае скорость распространения волны зависит от её длины. Зависимость круговой частоты волны [math]\displaystyle{ \omega }[/math] от модуля волнового вектора [math]\displaystyle{ k_z }[/math] (и, соответственно от длины) называется дисперсией волны и обычно является неоднозначной функцией. Каждая независимая ветвь функции [math]\displaystyle{ \omega(k_z) }[/math] называется отдельной нормальной модой (или просто модой).
В изотропных средах фазовая скорость распространения волны с заданной частотой не зависит от направления её распространения, в неизотропных и гиротропных средах в общем случае такая зависимость наблюдается, не только от направления, но и от типа поляризации (для гиротропных сред).
Нормальные моды могут отличаться распределением по амплитуде, типом поляризации (линейная, круговая поляризация) или физической природой волновых процессов. Частоты некоторых нормальных мод разного типа могут совпадать, в этом случае такие моды называют вырожденными, число возможных совпадающих по частоте мод разного типа называют кратностью вырождения.
См. также
Литература
- Миллер М. А., Пермитин Г. В. Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1992. — Т. 3: Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.