Выпуклая функция

Вогнутая функция, её график выделен синим, и надграфик закрашен зелёным.

Выпуклая функция (выпуклая вверх функция) — функция, для которой отрезок между любыми двумя точками её графика в векторном пространстве лежит не выше соответствующей дуги графика. Эквивалентно: выпуклой является функция, подграфик которой является выпуклым множеством.

Вогнутая функция (выпуклая вниз функция) — функция, хорда между любыми двумя точками графика которой лежит не ниже образованной дуги графика, или, что эквивалентно, надграфик которой является выпуклым множеством.

Понятия выпуклой и вогнутой функции двойственны, притом некоторыми авторами выпуклая функция определяется как вогнутая, и наоборот. Иногда во избежание недоразумений используют более явные термины: выпуклая вниз функция и выпуклая вверх функция.

Понятие имеет важное значение для классического математического анализа и функционального анализа, где особо изучаются выпуклые функционалы, а также для таких приложений, как теория оптимизации, где выделяется специализированный подраздел — выпуклый анализ.

Определения

Неравенство Йенсена в определении выпуклой функции

Числовая функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), выпукла, если для любых двух значений аргумента [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] и для любого числа [math]\displaystyle{ t \in \left[ 0, 1 \right] }[/math] выполняется неравенство Йенсена:

[math]\displaystyle{ f \big( tx + \left( 1 - t \right)y \big) \leqslant tf \left( x \right) + \left( 1 - t \right)f \left( y \right) }[/math]

Замечания

• Если это неравенство является строгим для всех [math]\displaystyle{ t \in \left( 0, 1 \right) }[/math] и [math]\displaystyle{ x \ne y }[/math], то функция называется строго выпуклой.
• Если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой (соответственно, строго вогнутой для строгого случая).
• Если для некоторого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] выполняется более сильное неравенство

  [math]\displaystyle{ f \big( tx + \left( 1 - t \right)y \big) \leqslant tf \left( x \right) + \left( 1 - t \right)f \left( y \right) - \varepsilon t \left( 1 - t \right)\left| x - y \right| ^2 }[/math]

то функция называется сильно выпуклой.

Свойства

• Функция [math]\displaystyle{ f }[/math], выпуклая на интервале [math]\displaystyle{ \mathbb{I} }[/math], непрерывна на всём [math]\displaystyle{ \mathbb{I} }[/math], дифференцируема на всём [math]\displaystyle{ \mathbb{I} }[/math] за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти всюду.
• Любая выпуклая функция является субдифференцируемой (имеет субдифференциал) на всей области определения.
• У выпуклой функции через любую точку проходит опорная гиперплоскость её надграфика.
• Непрерывная функция [math]\displaystyle{ f }[/math] выпукла на [math]\displaystyle{ \mathbb{I} }[/math] тогда и только тогда, когда для всех точек [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{I} }[/math] выполняется неравенство

  [math]\displaystyle{ f \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \leqslant \frac{f \left( x \right) + f \left( y \right)}{2} }[/math]

• Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной (опорной гиперплоскости), проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.
• Выпуклая функция одной переменной на интервале имеет левую и правую производные; левая производная в точке меньше или равна правой производной; производная выпуклой функции — неубывающая функция.
• Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция [math]\displaystyle{ f \left( x \right) = x^4 }[/math] строго выпукла на [math]\displaystyle{ \left[ -1, 1 \right] }[/math], но её вторая производная в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] равна нулю).
• Если функции [math]\displaystyle{ f }[/math], [math]\displaystyle{ g }[/math] выпуклы, то любая их линейная комбинация [math]\displaystyle{ af+bg }[/math] с положительными коэффициентами [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] также выпукла.
• Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).
• Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.

Литература

• Выпуклость и вогнутость / Теляковский С. А. // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Выпуклость и вогнутость // Казахстан. Национальная энциклопедия (рус.). — Алматы: Казахская энциклопедия, 2004. — Т. I. — ISBN 9965-9389-9-7. (CC BY-SA 3.0)