Модель Штакельберга

Модель Штакельберга — теоретико-игровая модель олигополистического рынка при наличии информационной асимметрии. Названа в честь немецкого экономиста Генриха фон Штакельберга, впервые описавшего её в работе Marktform und Gleichgewicht (Структура рынка и равновесие), вышедшей в 1934 г.

В этой модели поведение фирм описывается динамической игрой с полной совершенной информацией, что отличает её от модели Курно, в которой поведение фирм моделируется с помощью статической игры с полной информацией. Главной особенностью игры является наличие лидирующей фирмы, которая первой устанавливает объём выпуска товаров, а остальные фирмы ориентируются в своих расчетах на неё.

Формальное определение

В дуополии Штакельберга предполагается иерархия игроков. Первым своё решение объявляет игрок I, после этого стратегию выбирает игрок II. Первый игрок называется лидером, а второй - ведомым. Равновесием по Штакельбергу в игре называется набор стратегий [math]\displaystyle{ (x^*,y^*) }[/math], где [math]\displaystyle{ y^*=R(x^*) }[/math] есть наилучший ответ игрока II на стратегию [math]\displaystyle{ x^* }[/math], которая находится как решение задачи

[math]\displaystyle{ H(x^*,y^*)=\max\limits_{x}H(x,R(x)) }[/math].

Основные предпосылки

1. Отрасль производит однородный товар: отличия продукции разных фирм пренебрежимо малы, а значит, покупатель при выборе, у какой фирмы покупать, ориентируется только на цену
2. Фирмы устанавливают количество производимой продукции, а цена на неё определяется исходя из спроса.
3. Существует так называемая фирма-лидер, на объём производства которой ориентируются остальные фирмы.

Частный случай: моделирование дуополии

Пусть существует отрасль с двумя фирмами, одна из которых «фирма-лидер», другая — «фирма-последователь». Пусть цена на продукцию является линейной функцией общего объема предложения Q:

[math]\displaystyle{ P(Q)=a-bQ }[/math].

Предположим также, что издержки фирм на единицу продукции постоянны и равны с₁ и с₂ соответственно. Тогда прибыль первой фирмы, а также условие её максимизации будет определяться следующими формулами:

[math]\displaystyle{ \Pi_1=P(Q_1+Q_2)*Q_1-c_1Q_1 }[/math], или [math]\displaystyle{ \Pi_1=(a-b*(Q_1+Q_2))*Q_1-c_1Q_1, {d\pi_1 \over dQ_1}=a-b(Q_1+Q_2)-bQ_1-bQ_1{dQ_2 \over dQ_1}-c_1=0 }[/math], так как оптимальный объем выпуска фирмы последователя известен [math]\displaystyle{ Q_2^*=\frac{(a-bQ_1^*-c_2)}{2b} }[/math]или [math]\displaystyle{ Q_2^*=\frac{a-c_2}{2b}-\frac{Q_1}{2} }[/math] исходя из равновесия по Курно, то можно вычислить условие максимизации для фирмы-лидера [math]\displaystyle{ {dQ_2 \over dQ_1} = -1/2 }[/math], с учетом этого суждения оптимальный выпуск фирмы один составит [math]\displaystyle{ Q_1^*=\frac{2(a-c_1)}{3b}-\frac{2Q_2}{3} }[/math]- функция лидера

при этом прибыль второй фирмы и условие ее максимизации соответственно

[math]\displaystyle{ \Pi_2=P(Q_1+Q_2)*Q_2-c_2Q_2, {d\pi_2 \over dQ_2}=a-b(Q_1+Q_2)-bQ_2-c_2=0 }[/math], то есть фирма два считает, что выпуск фирмы один не изменится при изменении собственного выпуска, либо можно трактовать это как форму безразличия к поведению фирмы один.

[math]\displaystyle{ Q_2^*=\frac{a-c_2}{2b}-\frac{Q_1}{2} }[/math] - функция последователя;

В соответствии с моделью Штакельберга, первая фирма — фирма-лидер — на первом шаге назначает свой выпуск Q₁. После этого вторая фирма — фирма-последователь — анализируя действия фирмы-лидера определяет свой выпуск Q₂. Целью обеих фирм является максимизация своих платёжных функций.

Разрешая систему уравнений получаем следующие оптимальный выпуск для обеих фирм:

[math]\displaystyle{ Q_1^*=\frac{a-2c_1+c_2}{2b} }[/math] - фирма лидер

[math]\displaystyle{ Q_2^*=\frac{a-3c_2+2c_1}{4b} }[/math]- фирма последователь

Равновесие Нэша в этой игре определяется методом обратной индукции. Рассмотрим предпоследний этап игры — ход второй фирмы. На этом этапе фирма 2 знает объем оптимального выпуска продукции первой фирмой Q₁^*.

[math]\displaystyle{ Q_1^*=\frac{a-c_1}{2b}-\frac{Q_2}{2} }[/math].

Тогда задача определения оптимального выпуска Q₂^* сводится к решению задачи нахождения точки максимума платёжной функции второй фирмы. Максимизируя функцию Π₂ по переменной Q₂, считая Q₁ заданным, находим, что оптимальный выпуск второй фирмы

[math]\displaystyle{ Q_2^*=\frac{a-c_2}{2b}-\frac{Q_1}{2} }[/math].

Это наилучший ответ фирмы-последователя на выбор фирмой-лидером выпуска Q₁^*. Фирма-лидер может максимизировать свою платёжную функцию, учитывая вид функции Q₂^*. Точка максимума функции Π₁ по переменной Q₁ при подстановке Q₂^* в условие максимизации будет

[math]\displaystyle{ Q_1^*=\frac{2(a-c_1)}{3b}-\frac{2Q_2}{3} }[/math].откуда, [math]\displaystyle{ Q_1^*=\frac{a-2c_1+c_2}{2b} }[/math]

Подставляя это в выражение для Q₂^*, получим

[math]\displaystyle{ Q_2^*=\frac{a-3c_2+2c_1}{4b} }[/math]

Таким образом, в равновесии фирма-лидер производит в два раза большее количество продукции, нежели фирма-последователь (при с = с₁ = с₂)

[math]\displaystyle{ Q_1^*=\frac{a-c}{2b} }[/math] , [math]\displaystyle{ Q_2^*=\frac{a-c}{ 4b} }[/math] , [math]\displaystyle{ P^*=\frac{a+3c}{ 4} }[/math] находим из уравнения [math]\displaystyle{ P(Q)=a-bQ }[/math]. , [math]\displaystyle{ P^*=\frac{a+2c_1+c_2}{ 4} }[/math]

В данном случае фирма-стратег получает большую прибыль, чем в равновесии Курно, когда оба олигополиста считают, что их действия не влияют друг на друга. При этом фирма последователь получает прибыль меньше, чем при равновесии Курно.

Сравнение выводов с выводами модели Курно

В модели Курно суммарный выпуск для такой же функции спроса будет ниже [math]\displaystyle{ Q_1^*=Q_2^*=\frac{a-c}{3b} }[/math] , а цена соответственно выше [math]\displaystyle{ P^*=\frac{a+2c}{3} }[/math], на величину [math]\displaystyle{ \frac{a-c}{12} }[/math]следовательно на уровне теоретических рассуждений можно предположить, что для общества в отраслях, где сложилась олигополия, выгодно выделение фирмы-лидера, обладающего значительной рыночной властью, так как существование примерно одинаковых по размерам и рыночной власти фирм (что предполагается в модели Курно) ведет к росту цены и сокращению выпуска.

См. также

• Модель Курно
• Модель Бертрана
• Равновесие Нэша