Коррелированное равновесие

Шаблон:Концепция решения Коррелированное равновесие (англ. correlated equilibrium) — концепция решения в теории игр, предложенная Робертом Ауманном в 1974 году. Обобщает равновесие Нэша, то есть всякое равновесное по Нэшу решение является и коррелированным равновесием (обратное в общем случае неверно). В основе концепции лежит идея о том, что игроки совершают действия после получения дополнительной информации, источником которой служит коррелирующее устройство (англ. correlating device). Поскольку стратегии игроков зависят от одного и того же сигнала, они коррелируют, чем и объясняется название концепции.

Выделяют объективное и субъективное виды коррелированного равновесия. Субъективное коррелированное равновесие эквивалентно концепции рационализируемости.

Определение

Соотношение равновесных концепций решения. Стрелками обозначено направление от рафинирований к менее требовательным концепциям

Имеется игра в нормальной форме с N участниками, [math]\displaystyle{ \displaystyle (N,A_i,u_i) }[/math]. Игрок i характеризуется множеством действий [math]\displaystyle{ A_i }[/math] и функцией полезности [math]\displaystyle{ u_i }[/math]. Модификацией стратегии i-го игрока называется функция [math]\displaystyle{ \phi_i\colon A_i \to A_i }[/math], то есть правило, предписывающее игроку выбрать стратегию [math]\displaystyle{ \phi_i(a_i) }[/math] вместо [math]\displaystyle{ a_i }[/math].

Пусть имеется счётное вероятностное пространство [math]\displaystyle{ (\Omega, \pi) }[/math]. Для i-го игрока определены разбиение [math]\displaystyle{ P_i }[/math] и апостериорное распределение [math]\displaystyle{ q_i }[/math]. Также имеется функция [math]\displaystyle{ s_i\colon\Omega\rightarrow A_i }[/math], ставящая элементам одного блока одно и то же значение. Тогда кортеж [math]\displaystyle{ ((\Omega, \pi),P_i,s_i) }[/math] является коррелированным равновесием игры [math]\displaystyle{ (N,A_i,u_i) }[/math], если для каждого игрока [math]\displaystyle{ i }[/math] и каждой модификации [math]\displaystyle{ \phi_i }[/math] выполняется

[math]\displaystyle{ \sum_{\omega \in \Omega} q_i(\omega)u_i(s_i(\omega), s_{-i}(\omega)) \geq \sum_{\omega \in \Omega} q_i(\omega)u_i\left(\phi_i\left(s_i(\omega)\right), s_{-i}(\omega)\right) }[/math]

Иначе говоря, [math]\displaystyle{ ((\Omega, \pi),P_i) }[/math] есть коррелированное равновесие если ни один из игроков не сможет повысить ожидаемую полезность путём применения какой-либо модификации.