Лебрюн, Клод

Клод Лебрюн
англ. Claude R. LeBrun Jr.
в Обервольфахе в 2012 году
Место рождения	Даллас, Техас
Научная сфера	дифференциальная геометрия
Научный руководитель	Роджер Пенроз
Ученики	Массимилиано Понтекорво, Майкл Альбанезе

В Руниверсалис есть статьи о других людях с фамилией Лебрюн.

Клод Лебрю́н (англ. Claude LeBrun, р. 26 ноября 1956 года в Далласе, штат Техас) — североамериканский геометр, специалист в комплексной и дифференциальной геометрии, в первую очередь четырёхмерных многообразий, а также теории относительности. Выдающийся профессор (англ. SUNY Distinguished Professor) Университета штата Нью-Йорк в Стони-Бруке.

Биография

Выпускник Хансен-колледжа университета Райса (1977), учился в аспирантуре в Оксфорде под руководством Пенроза, и в 1980 году защитил диссертацию Spaces of Complex Geodesics and Related Structures, после чего получил место в Стони-Бруке.

В 1994 году был приглашённым докладчиком на Международном математическом конгрессе в Цюрихе, тема доклада — Anti-self-dual metrics and Kähler geometry. В 2012 году был избран членом Американского математического сообщества. В 2016 году 60-летний юбилей Лебрюна был отмечен конференцией в Монреале. В 2018 году Лебрюн получил премию фонда Саймонса, а в 2020 году был произведён в выдающиеся профессоры (англ. SUNY Distinguished Professor) Стони-Брукского университета.

Диссертация

Диссертация Лебрюна углубляет труды его великого учителя в области теории твисторов. Именно, он рассматривает [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерные комплексные многообразия, снабжённые голоморфной проективной связностью; локальные геодезические относительно такой связности допускают параметризацию [math]\displaystyle{ (2n-2) }[/math]-мерным комплексным многообразием. Каждая точка изначального многообразия определяет подмногообразие [math]\displaystyle{ \C\mathbf{P}^{n-1} }[/math] в пространстве геодезических, поскольку каждое комплексное касательное направление в точке допускает единственную геодезическую, касательной к которой оно является. Голоморфная проективная связность на изначальном многообразии может быть восстановлена по этой сетке подмногообразий в пространстве геодезических, а малые деформации комплексной структуры на нём соответствуют малым вариациям проективной связности. Для тривиального случая проективной плоскости [math]\displaystyle{ \C\mathbf{P}^2 }[/math] геодезические это проективные прямые, а параметризует их двойстванная проективная плоскость; тем самым диссертацию Лебрюна можно воспринимать как далеко идущее обобщение проективной двойственности.

Аналогичный результат был получен Лебрюном для комплексного многообразия с конформной связностью, сиречь голоморфной конформной структурой (или же полем квадратичных конусов) вкупе с тензором кручения, и пространства локальных изотропных геодезических на нём (то есть геодезических, касающихся этого поля конусов — иначе они называются светоподобными или нуль-геодезическими). В случае зануления тензора кручения, как было доказано Лебрюном, пространство изотропных геодезических допускает голоморфную контактную структуру, и обратно — наличие голоморфной контактной структуры на пространстве изотропных геодезических вынуждает кручение конформной структуры на изначальном пространстве обращаться в нуль. Этот результат имеет место только в случае, когда размерность комплексного многообразия 4 или выше; для трёхмерных многообразий Лебрюн построил каноническое вложение в четырёхмерное многообразие с конформной связностью, кривизна которой самодвойственна, при котором кручение изначальной структуры выражается через форму внешней кривизны этого вложения.

КР-твисторы трёхмерных многообразий

в Калифорнии в 1982 году, из архива Джорджа Бергмана

В 1984 году в Trans. Am. Math. Soc. была напечатана статья Лебрюна Twistor CR Manifolds and Three-Dimensional Conformal Geometry, в которой он распространил твисторную теорию также на вещественные трёхмерные многообразия с конформной структурой — то есть такие, на которых можно говорить о взаимной перпендикулярности векторов, но не их абсолютной длине (если вообразить, что времени нет, таковым, в сущности, является наше трёхмерное пространство: единица длины выбирается нами весьма произвольно, и до известной степени то, что единицу длины на Земле и единицу длины на Плутоне вообще можно осмысленно сравнивать, есть акт веры). Ему в соответствие ставится вещественно пятимерное многообразие с КР-структурой, то есть четырёхмерным контактным распределением, снабжённым полем операторов поворота на 90°, превращающим его в двумерное комплексное распределение, и к тому же удовлетворяющему условию интегрируемости, и семейством голоморфных рациональных кривых, касающихся этого комплексного распределения. Условие интегрируемости сводится к тому, что на уровне рядов Тейлора пятимерное многообразие в каждой точке можно воплотить как ряд Тейлора вещественной гиперповерхности в [math]\displaystyle{ \C^3 }[/math] такой, что контактное подпространство будет в точности комплексно двумерной плоскостью, лежащей в вещественно пятимерном касательном пространстве к гиперповерхности, а оператор поворота на 90° будет в точности оператором умножения векторов в [math]\displaystyle{ \C^3 }[/math] на [math]\displaystyle{ \sqrt{-1} }[/math]. Обратно, по пятимерному КР-многообразию с семейством рациональных кривых изначальное трёхмерное многообразие с конформной структурой восстанавливается однозначно.

Заметим, что существование подлинных локальных карт со значениями в [math]\displaystyle{ \C^3 }[/math] на твисторах Лебрюна автоматически влекло бы аналитичность функций переклейки (в силу аналитичности комплексно дифференцируемых отображений), и следовательно наличие на изначальном трёхмерном многообразии аналитической структуры.

Лебрюн получил эту структуру хитроумной геометрической конструкцией, из которой интегрируемость этой КР-структуры была очевидна (а именно рассмотрев вектора в комплексификации кокасательного расслоения, изотропные относительно конформной структуры). Миша Вербицкий дал гораздо более простое описание КР-твисторов Лебрюна. Именно, если зафиксировать риманову метрику, определяющую конформную структуру на трёхмерном многообразии [math]\displaystyle{ X }[/math], то КР-твисторы Лебрюна можно отождествить с тотальным пространством [math]\displaystyle{ UTX }[/math] расслоением касательных векторов единичной длины. Касательное расслоение к [math]\displaystyle{ UTX }[/math] раскладывается при помощи связности Леви-Чивиты в ортогональную прямую сумму [math]\displaystyle{ T(UTX) = Ver \oplus Hor }[/math], где [math]\displaystyle{ Ver_{v,x} = T_v(UT_x) }[/math] — касательное пространство к единичной сфере в [math]\displaystyle{ T_xX }[/math], а [math]\displaystyle{ Hor_{v,x} }[/math] изоморфно проецируется на [math]\displaystyle{ T_xX }[/math]. Контактная плоскость в точке [math]\displaystyle{ (v,x) }[/math] (где [math]\displaystyle{ v \in T_x }[/math] — единичный вектор) задаётся как линейная оболочка [math]\displaystyle{ Ver_{v,x} }[/math] и перпендикулярного подпространства [math]\displaystyle{ v^\perp \subset T_x \cong Hor_{v,x} }[/math], а оператор поворота на 90° — как стандартная комплексная структура на сфере Римана по вертикали и как векторное умножение на [math]\displaystyle{ v }[/math] по горизонтали (то есть в пределах [math]\displaystyle{ v^\perp }[/math]; напомним, что в размерности три задать евклидову структуру это всё равно что задать векторное произведение).

Отсюда, например, можно вывести явное описание твисторов Лебрюна для круглой сферы [math]\displaystyle{ S^3 }[/math]. Именно, реализуем её как экваториальную сферу в [math]\displaystyle{ S^4 }[/math]. Единичный касательный вектор [math]\displaystyle{ e \in T_xS^3 }[/math] к [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x \in S^3 }[/math] можно воспринять как пару перпендикулярных единичных векторов [math]\displaystyle{ \{e, n\} \in T_xS^4 }[/math], где [math]\displaystyle{ n_x }[/math] — единичная нормаль к [math]\displaystyle{ S^3 \subset S^4 }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math]. Они задают ортогональную комплексную структуру на пространстве [math]\displaystyle{ T_xS^4 }[/math], определённую условием [math]\displaystyle{ I(n) = e }[/math]. Обратно, всякая ортогональная комплексная структура на [math]\displaystyle{ T_xS^4 }[/math] определяет единичный касательный вектор к [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] как образ единичной нормали под поворота на 90°. Расслоение над [math]\displaystyle{ S^4 }[/math], вешающее над каждой точкой круглой сферы множество ортогональных комплексных структур на касательном пространстве к ней — это классические твисторы, твисторное пространство в данном случае биголоморфно [math]\displaystyle{ \C\mathbf{P}^3 }[/math], а проекция на [math]\displaystyle{ S^4 }[/math] есть кватернионное расслоение Хопфа [math]\displaystyle{ \C\mathbf{P}^3 = \mathbf{P}_\C(\C^4) \cong \mathbf{P}_\C(\H^2) \mapsto \mathbf{P}_\H(\H^2) = \H\mathbf{P}^1 \cong S^4 }[/math]. Соответственно, твисторы Лебрюна круглой сферы суть прообраз экваториальной [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] при расслоении Хопфа, и тем самым вещественная гиперповерхность в [math]\displaystyle{ \C\mathbf{P}^3 }[/math], граница трубчатой окрестности нормального расслоения к проективной прямой [math]\displaystyle{ \C\mathbf{P}^1 \subset \C\mathbf{P}^3 }[/math].

Определение Вербицкого хорошо тем, что оно переносится на другой важный случай, когда на римановом многообразии имеется поле векторных произведений — а именно [math]\displaystyle{ \mathrm{G}_2 }[/math]-многообразия; кроме того, оно позволяет определить гауссово отображение в абстрактной ситуации поверхности, лежащей в трёхмерном многообразии (сопоставляя точке поверхности единичную нормаль в ней). Однако из этого определения неочевидна ни интегрируемость этой твисторной структуры, ни даже её конформная инвариантность. Последняя может быть доказана, впрочем, изящным вычислением; из него в частности следует, что гауссово отображение поверхности в твисторы Лебрюна является голоморфным тогда и только тогда, когда эта поверхность вполне умбилична. В частности, из конформной инвариантности КР-структуры на твисторах Лебрюна следует, что конформные преобразования переводят вполне умбилические поверхности во вполне убмилические. Поскольку в [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math] таковыми являются только сферы и плоскости, отсюда следует классическая теорема Лиувилля о конформных отображениях. Условие голоморфности гауссова отображения для умбилических поверхностей может быть взято за определение КР-структуры на твисторах Лебрюна. Для сравнения, если бы мы требовали голоморфности гауссова отображения для минимальных поверхностей, мы бы пришли к твисторам Илса — Саламона, отличающихся от твисторов Лебрюна тем, что поворот на 90° в горизонтальном направлении у них берётся с обратным знаком. Поскольку в общем римановом многообразии даже локальные умбилические поверхности редки, а минимальные напротив представлены в изобилии, на твисторах Илса — Саламона имеется много голоморфных кривых; в то же время почти КР-структура на них никогда не интегрируема, что означает отсутствие даже локальных голоморфных функций — каковые, напротив, на твисторах Лебрюна представлены в изобилии в силу локальной КР-голоморфной вложимости их в [math]\displaystyle{ \C^3 }[/math].

Твисторы Лебрюна были использованы Лемпертом для доказательства формальной интегрируемости комплексной структуры на пространстве узлов в трёхмерном многообразии с конформной структурой.

Ортогональные комплексные структуры на [math]\displaystyle{ S^6 }[/math]

Размерности два и шесть — единственные, в которых существование почти комплексной структуры на сфере не запрещено из соображений топологии. В размерности два это просто комплексная структура на рациональной кривой; в размерности шесть существует почти комплексная структура, получающаяся из векторного умножения на единичную нормаль к круглой сфере [math]\displaystyle{ S^6 \subset \R^7 }[/math] (впрочем, так же описывается и комплексная структура на [math]\displaystyle{ S^2 \subset \R^3 }[/math]). Однако вопрос существования интегрируемой комплексной структуры — то есть локально биголоморфной шару в [math]\displaystyle{ \C^3 }[/math] — весьма туманен. В статье 1987 года Orthogonal Complex Structures on [math]\displaystyle{ S^6 }[/math] Лебрюн показал, что такая структура не может быть ортогональной в стандартной круглой метрике на [math]\displaystyle{ S^6 }[/math]. Он рассмотрел отображение, сопоставляющее комплексной структуре во всякой точке её собственное подпространство с собственным числом [math]\displaystyle{ -\sqrt{-1} }[/math], рассмотренное как трёхмерное подпространство в комплексификации [math]\displaystyle{ \C^7 }[/math] объемлющего пространства [math]\displaystyle{ \R^7 }[/math]. Если бы почти комплексная структура была интегрируемой, то это отображение было бы голоморфным вложением [math]\displaystyle{ S^6 }[/math] в грассманиан [math]\displaystyle{ \mathrm{Gr}(3,7) }[/math]. Это бы давало кэлерову форму на [math]\displaystyle{ S^6 }[/math] в силу того, что грассманиан можно реализовать в проективном пространстве; но [math]\displaystyle{ H^2(S^6) = 0 }[/math], что ведёт к противоречию.

Другие статьи

Лебрюну принадлежит около 100 статей в различных разделах геометрии и математической физики.

Ссылки

• Домашняя страница профессора Лебрюна
• Клод Лебрюн на сайте «Математическая генеалогия»