Перейти к содержанию

Категория топологических пространств

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Категория топологических пространств — категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения, основной объект изучения категорной топологии. Стандартное обозначение — [math]\displaystyle{ \mathbf{Top} }[/math]. Является конкретной категорией, поэтому её объекты можно понимать как множества с дополнительной структурой.

Естественный забывающий функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель: [math]\displaystyle{ U \colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Set} }[/math]. Этот функтор имеет как левый сопряжённый [math]\displaystyle{ D \colon \mathbf{Set} \to \mathbf{Top} }[/math], снабжающий множество дискретной топологией, так и правый сопряжённый [math]\displaystyle{ I \colon \mathbf{Set} \to \mathbf{Top} }[/math], снабжающий множество антидискретной топологией. Более того, поскольку любая функция между дискретными или антидискретными пространствами непрерывна, оба этих функтора задают полное вложение категории множеств в [math]\displaystyle{ \mathbf{Top} }[/math].

Является полной и кополной, то есть в ней существуют все малые пределы и копределы. Забывающий функтор: [math]\displaystyle{ U \colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Set} }[/math] единственным образом поднимает пределы, а также сохраняет их. Поэтому для получения пределов (копределов) в [math]\displaystyle{ \mathbf{Top} }[/math] достаточно снабдить нужной топологией пределы (копределы) в [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math]: если [math]\displaystyle{ F }[/math] — диаграмма в [math]\displaystyle{ \mathbf{Top} }[/math] и [math]\displaystyle{ (L, \varphi) }[/math] — предел диаграммы [math]\displaystyle{ UF }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math], то соответствующий предел (копредел) [math]\displaystyle{ F }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathbf{Top} }[/math] можно получить, снабдив [math]\displaystyle{ (L, \varphi) }[/math] начальной топологией (конечной топологией).

Мономорфизмы в [math]\displaystyle{ \mathbf{Top} }[/math] — это непрерывные инъективные отображения; эпиморфизмы — непрерывные сюръективные отображения, а изоморфизмы — гомеоморфизмы. В [math]\displaystyle{ \mathbf{Top} }[/math] нет нулевых морфизмов, в частности эта категория не предаддитивна.

Не является декартово замкнутой, потому что не для всех её объектов существуют экспоненциалы.

Литература

  • Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen (нем.). — 1968. — (Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 78).
  • Categorical topology 1971—1981 (H. Herrlich) // General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5 (англ.). — Heldermann Verlag, 1983. — P. 279—383.
  • Categorical Topology — its origins, as examplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971; Categorical topology 1971—1981 (H. Herrlich, G. E. Strecker) // Handbook of the History of General Topology / eds. C.E.Aull, R. Lowen. — Kluwer Acad. Publ., 1997. — Т. 1. — С. 255—341.
  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. Abstract and Concrete Categories. — John Wiley & Sons. — ISBN 0-471-60922-6.
  • Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.