Начальный объект

Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект [math]\displaystyle{ I }[/math] категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] такой, что для любого объекта [math]\displaystyle{ X \in \mathrm{Ob}_\mathcal{C} }[/math] существует единственный морфизм [math]\displaystyle{ I \to X }[/math].

Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект [math]\displaystyle{ T }[/math] — терминальный, если для любого объекта [math]\displaystyle{ X \in \mathrm{Ob}_\mathcal{C} }[/math] существует единственный морфизм [math]\displaystyle{ X \to T }[/math].

Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом.

Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории множеств с отмеченной точкой синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой.

Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если [math]\displaystyle{ I_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ I_2 }[/math] — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный.

Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы [math]\displaystyle{ \varnothing \to \mathcal C }[/math], то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно.

Примеры

В категории групп, так же, как и в категориях абелевых групп, модулей над кольцом и векторных пространств существует нулевой объект (в связи с чем и появился термин «нулевой объект»).

В категории колец кольцо целых чисел [math]\displaystyle{ \Z }[/math] является начальным объектом, и нулевое кольцо с [math]\displaystyle{ 0=1 }[/math] — терминальным объектом. В категории полей не существует начальных и терминальных элементов. Однако в полной подкатегории полей характеристики [math]\displaystyle{ p }[/math] имеется начальный объект — поле из [math]\displaystyle{ p }[/math] элементов.

В категории всех малых категорий (с функторами как морфизмами) начальный объект — пустая категория, а терминальный — категория [math]\displaystyle{ \mathbf 1 }[/math] с единственным объектом и морфизмом.

Любое топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] можно рассматривать как категорию, объекты которой — открытые множества и между любыми двумя открытыми множествами, такими, что [math]\displaystyle{ U \subset V }[/math], существует единственный морфизм. Пустое множество — начальный объект этой категории, [math]\displaystyle{ X }[/math] — терминальный. Для такой категория топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] и произвольной малой категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] все контравариантные функторы из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] с естественными преобразованиями образуют категорию, называемую категорией предпучков на [math]\displaystyle{ X }[/math] с коэффициентами в [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] имеет начальный объект [math]\displaystyle{ c }[/math], то постоянный функтор, отображающий [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ c }[/math], является начальным объектом категории предпучков, двойственное утверждение также верно.

В категории схем спектр [math]\displaystyle{ \mathbf{Spec}(Z) }[/math] — терминальный объект, и пустая схема — начальный объект.

Начальные и терминальные объекты также можно характеризовать при помощи универсальных стрелок и сопряжённых функторов. Для категории [math]\displaystyle{ \mathbf 1 }[/math] из единственного объекта [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] и (единственного) функтора [math]\displaystyle{ U \colon \mathcal C \to \mathbf 1 }[/math] начальный объект [math]\displaystyle{ I }[/math] категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] — это универсальная стрелка из [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] в [math]\displaystyle{ U }[/math]. Функтор, отправляющий [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] в [math]\displaystyle{ I }[/math] — левый сопряженный для [math]\displaystyle{ U }[/math]. Соответственно, терминальный объект [math]\displaystyle{ T }[/math] категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] — универсальная стрелка из [math]\displaystyle{ U }[/math] в [math]\displaystyle{ \bullet }[/math], а функтор, отправляющий [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] в [math]\displaystyle{ I }[/math] — правый сопряженный для [math]\displaystyle{ U }[/math]. Обратно, универсальная стрелка из [math]\displaystyle{ X }[/math] в функтор [math]\displaystyle{ U }[/math] может быть определена как начальный объект в категории запятой [math]\displaystyle{ (X \downarrow U) }[/math]. Двойственно, универсальный морфизм из [math]\displaystyle{ U }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math] — терминальный объект в [math]\displaystyle{ (U \downarrow X) }[/math].

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.