Расслоённое произведение
Расслоённое произведение (послойное произведение, коамальгама, декартов квадрат, англ. pullback) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: [math]\displaystyle{ X\to Z \leftarrow Y. }[/math] Расслоённое произведение часто обозначают как [math]\displaystyle{ X \times_Z Y. }[/math]
Двойственное понятие — кодекартов квадрат.
Универсальное свойство
Пусть в категории [math]\displaystyle{ C }[/math] дана пара морфизмов [math]\displaystyle{ f:X\to Z }[/math] и [math]\displaystyle{ g:Y\to Z. }[/math] Расслоённое произведение [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] над [math]\displaystyle{ Z }[/math] — это объект [math]\displaystyle{ P = X \times_Z Y }[/math] вместе с морфизмами [math]\displaystyle{ p_1, p_2, }[/math] для которых следующая диаграмма коммутативна:
Более того, расслоённое произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта [math]\displaystyle{ Q, }[/math] с парой морфизмов [math]\displaystyle{ q_1:Q\to X,\,q_2:Q\to Y, }[/math] дополняющих пару [math]\displaystyle{ (f,g) }[/math] до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм [math]\displaystyle{ u\colon Q \to P, }[/math] такой что нижеприведённая диаграмма коммутативна:
Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами [math]\displaystyle{ f,g,p_1,p_2 }[/math] называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g. }[/math]
Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоённое произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.
Примеры
В категории множеств расслоённое произведение множеств [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] с отображениями [math]\displaystyle{ f:X\to Z }[/math] и [math]\displaystyle{ g:Y\to Z }[/math] — это множество
- [math]\displaystyle{ X\times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y| f(x) = g(y)\} }[/math]
вместе с естественными проекциями на компоненты.
Аналогичным образом определяется расслоённое произведение в категории коммутативных колец.
Также расслоённое произведение в [math]\displaystyle{ \mathbf{Set} }[/math] можно описывать двумя асимметричными способами:
- [math]\displaystyle{ X\times_Z Y }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cong \coprod_{x\in X} g^{-1}[\{f(x)\}] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cong \coprod_{y\in Y} f^{-1}[\{g(y)\}], }[/math]
где [math]\displaystyle{ \coprod }[/math] — дизъюнктное объединение множеств.
См. также
Литература
- Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
- Городенцев А. Л. Алгебра для студентов-математиков. Часть II. — М., 2015. — С. 160.
- Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
- Фейс К. Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
- Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats. — Willey & Sons, 1990. — P. 524. — ISBN 0-471-60922-6.