Компактификация Стоуна — Чеха
Компактификация Стоуна — Чеха (также стоун-чеховская или чех-стоунова компактификация) — максимальная компактификация вполне регулярного топологического пространства.
Компактификация Стоуна — Чеха пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] обычно обозначается как [math]\displaystyle{ \beta X }[/math].
История
Конструкция компактификации Стоуна — Чеха была впервые рассмотрена Тихоновым[1] в 1930 году. Более явно она была описана в 1937 году Стоуном [2] и Эдуардом Чехом[3].
Универсальное свойство
[math]\displaystyle{ \beta X }[/math] — это компактное хаусдорфово пространство вместе с непрерывным отображением из [math]\displaystyle{ X, }[/math] удовлетворяющее следующему универсальному свойству: любое непрерывное отображение [math]\displaystyle{ f:X\to K }[/math] в компактное хаусдорфово пространство [math]\displaystyle{ K }[/math] можно однозначно продолжить до непрерывного отображения [math]\displaystyle{ \beta f: \beta X\to K, }[/math] такого что следующая диаграмма коммутативна:
В случае, если исходное пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] было вполне регулярным, отображение [math]\displaystyle{ X\to\beta X }[/math] является гомеоморфизмом [math]\displaystyle{ X }[/math] на образ этого отображения (то есть вложением).
Замечание
- Несмотря на то, что универсальное свойство однозначно определяет компактификацию с точностью до изоморфизма, для доказательства существования компактификации нужно описать явную конструкцию.
Конструкция
Обозначим через [math]\displaystyle{ A }[/math] множество всех непрерывных функций [math]\displaystyle{ \alpha\colon X\to [0,1] }[/math]. Можно проверить, что отображение [math]\displaystyle{ F:X\to [0,1]^A }[/math] (тихоновский куб), определяемое равенством
- [math]\displaystyle{ x\mapsto (\alpha(x))_{\alpha\in A} }[/math],
является гомеоморфизмом [math]\displaystyle{ X }[/math] на свой образ [math]\displaystyle{ F(X)\subset [0,1]^A }[/math]. Замыкание [math]\displaystyle{ F(X) }[/math] в [math]\displaystyle{ [0,1]^A }[/math] и будет искомой компактификацией.
Свойства
- Если [math]\displaystyle{ X }[/math] является дискретным пространством, его компактификация — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств [math]\displaystyle{ X, }[/math] наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров [math]\displaystyle{ G }[/math] можно взять множества [math]\displaystyle{ D_a=\{U\in G|a\in U\} }[/math] для всевозможных [math]\displaystyle{ a\in P(X). }[/math]
Примечания
- ↑ Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, — Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 102: 544—561
- ↑ Stone, M.H. (1937), Applications of the theory of Boolean rings to general topology, — Trans. Amer. Soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3) 41 (3): 375—481
- ↑ Čech, E. (1937), On bicompact spaces, — Ann. Math. (The Annals of Mathematics, Vol. 38, No. 4) 38 (4): 823—844
Литература
- Стоуна — Чеха бикомпактное расширение — статья из Математической энциклопедии. Кожевникова И. Г.
- Dror Bar-Natan, Ultrafilters, Compactness, and the Stone-Čech compactification
 |