Комбинаторная геометрия

Кубическая гранецентрированная упаковка

Комбинаторная или дискретная геометрия — раздел геометрии, в котором изучаются комбинаторные свойства геометрических объектов и связанные с ними конструкции. В комбинаторной геометрии рассматривают конечные и бесконечные дискретные множества или структуры базовых однотипных геометрических объектов (точек, прямых, окружностей, многоугольников, тел с одинаковым диаметром, целочисленных решёток и т. п.) и ставят вопросы, связанные со свойствами различных геометрических конструкций из этих объектов или на этих структурах. Проблемы комбинаторной геометрии простираются от конкретных «предметно»-комбинаторных вопросов (хотя и не всегда с простыми ответами) — замощения, упаковка кругов на плоскости, формула Пика — до вопросов общих и глубоких, таких как гипотеза Борсука, проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера.

История

Хотя многогранники, замощения и упаковка шаров исследовались ещё Кеплером и Коши, современная комбинаторная геометрия начала формироваться в конце XIX века. Одними из первых задач были: плотность упаковки кругов Акселя Туэ, проективная конфигурация Штайница, геометрия чисел Минковского и проблема четырёх красок Фрэнсиса Гутри.

Примеры задач

Представление о диапазоне задач комбинаторной геометрии дают следующие примеры.

• Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.

Ромботришестиугольная упаковка шаров, одна из 11 возможных симметричных упаковок

• Задача о возможных и наиболее плотных упаковках кругов на плоскости и шаров в пространстве. Наиболее плотные упаковки кругов и шаров представляются очевидными. Но полное математическое доказательство для кругов было получено только в 1940 году. Для шаров компьютерное доказательство гипотезы Кеплера появилось спустя 400 лет в 1998 году в работе математика Томаса Хейлса

Восемь точек в общем положении, для которых нет выпуклого пятиугольника

• Теорема Эрдёша — Секереша о выпуклых многоугольниках утверждает, что в любом достаточно большом множестве точек в общем положении на плоскости можно найти [math]\displaystyle{ n }[/math] точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника. Гипотеза Эрдёша — Секереша о минимальном числе точек, обязательно содержащих выпуклый [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольник, на сегодня не доказана. Данная задача является также задачей теории Рамсея.

• Теорема Минковского о выпуклом теле. Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат [math]\displaystyle{ O }[/math] [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного евклидова пространства, имеющее объём [math]\displaystyle{ \ge 2^n }[/math]. Тогда в [math]\displaystyle{ S }[/math] найдётся целочисленная точка, отличная от [math]\displaystyle{ O }[/math]. Эта теорема положила начало геометрии чисел.

• Гипотеза Борсука утверждает, что любое тело диаметра [math]\displaystyle{ d }[/math] в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве можно разбить на [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] часть так, что диаметр каждой части будет меньше [math]\displaystyle{ d }[/math]. Эта гипотеза была доказана для размерностей [math]\displaystyle{ 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ 3 }[/math], но опровергнута для пространств большой размерности. По известной сегодня оценке она неверна для пространств размерности 64 и более.

• Задача Данцера — Грюнбаума заключается в поиске конечного множества из как можно большего количества точек в многомерном пространстве, между которыми можно построить только острые углы.

См. также

• Вычислительная геометрия
• Конечная геометрия
• Геометрия чисел

Ссылки

• Bezdek, András; Kuperberg, W. Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday (англ.). — New York, N.Y: Marcel Dekker, 2003. — ISBN 0-8247-0968-3.
• Bezdek, Károly. Classical Topics in Discrete Geometry (неопр.). — New York, N.Y: Springer, 2010. — ISBN 978-1-4419-0599-4.
• Brass, Peter; Moser, William; Pach, János Research problems in discrete geometry (неопр.). — Berlin: Springer, 2005. — ISBN 0-387-23815-8.
• Pach, János; Agarwal, Pankaj K. Combinatorial geometry (неопр.). — New York: Wiley-Interscience, 1995. — ISBN 0-471-58890-3.
• Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph. Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition (англ.). — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2004. — ISBN 1-58488-301-4.
• Gruber, Peter M. Convex and Discrete Geometry. — Berlin: Springer, 2007. — ISBN 3-540-71132-5.
• Matoušek, Jiří. Lectures on discrete geometry. — Berlin: Springer, 2002. — ISBN 0-387-95374-4.
• Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Excursions into Combinatorial Geometry (неопр.). — Springer, 1997. — ISBN 3-540-61341-2.