Теорема Минковского о выпуклом теле

Теорема Минковского о выпуклом теле — одна из теорем геометрии чисел, послужившая основой выделения геометрии чисел в раздел теории чисел. Сформулирована Германом Минковским в 1896 году.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат [math]\displaystyle{ O }[/math], [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного евклидова пространства, имеющее объём [math]\displaystyle{ \geqslant 2^n }[/math]. Тогда в [math]\displaystyle{ S }[/math] найдётся целочисленная точка, отличная от [math]\displaystyle{ O }[/math].

Доказательство

Ниже приведено доказательство теоремы Минковского для частного случая L = ℤ². Оно может быть обобщено на произвольную размерность.

Рассмотрим отображение

[math]\displaystyle{ f: S \to \mathbb{R}^2 \qquad (x,y) \mapsto (x \bmod 2, y \bmod 2) }[/math]

Интуитивно, это отображение нарезает тело на квадраты размером 2 на 2, которые накладывает один поверх другого. Очевидно, что площадь f(S) ≤ 4. Если бы отображение f было инъективно, то части S, вырезанные квадратами, совмещались бы без перекрытия. Так как f сохраняет локальные площади фрагментов, то это свойство непересечения сделало бы отображение f сохраняющим площадь всего S, так что площадь f(S) была бы такой же, как у S - численно больше 4. Раз это не так, то f не инъективно, а следовательно, f(p₁) = f(p₂) для некоей пары точек p₁, p₂ ∈ S. Более того, по определению f мы знаем, что p₂ = p₁ + (2i, 2j) для неких целочисленных i и j, где хотя бы одно из них не равно нулю.

Тогда, так как S симметрично относительно начала координат, −p₁ также входит в S. Так как S выпукло, то отрезок между −p₁ и p₂ полностью лежит в S. Середина этого отрезка

[math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2}\left(-p_1 + p_2\right) = \tfrac{1}{2}\left(-p_1 + p_1 + (2i, 2j)\right) = (i, j) }[/math]

лежит в S. (i,j) является целочисленной точкой и не является началом координат (i и j не могут оба быть равными нулю). Таким образом, мы нашли искомую точку.

Вариации и обобщения

• Обобщением теоремы Минковского на невыпуклые множества является теорема Блихфельдта (англ.).
• В 2007 году Николай Дуров показал, что теорема Минковского может быть воспринята как вариант теоремы Римана — Роха для пополненного спектра [math]\displaystyle{ \Z }[/math].