Точка Брокара

Шаблон:Центр треугольника Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника, возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах. Считаются замечательными точками треугольника, с их помощью строятся многие объекты геометрии треугольника (в том числе окружность Брокара, треугольник Брокара, окружность Нейберга).

Названы по имени французского метеоролога и геометра Анри Брокара, описавшего точки и их построение в 1875 году, однако были известны и ранее, в частности, были построены в одной из работ немецкого математика и архитектора Августа Крелле, изданной в 1816 году.

В энциклопедии центров треугольника первая точка Брокара идентифицируется как [math]\displaystyle{ X(39) }[/math].

Определение

В треугольнике [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] со сторонами [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], и [math]\displaystyle{ c }[/math], противолежащими вершинам [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] соответственно, имеется всего одна точка [math]\displaystyle{ P }[/math] такая, что отрезки прямых [math]\displaystyle{ AP }[/math], [math]\displaystyle{ BP }[/math] и [math]\displaystyle{ CP }[/math] образуют один и тот же угол [math]\displaystyle{ \omega }[/math] со сторонами [math]\displaystyle{ c }[/math], [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] соответственно: [math]\displaystyle{ \angle PAB = \angle PBC = \angle PCA }[/math]. Точка [math]\displaystyle{ P }[/math] называется первой точкой Брокара треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math], а угол [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — углом Брокара треугольника.

Для угла Брокара [math]\displaystyle{ \omega }[/math] выполняется следующее тождество: [math]\displaystyle{ \mathrm{ctg}\, \omega = \mathrm{ctg}\, \angle BAC + \mathrm{ctg}\, \angle ABC + \mathrm{ctg}\, \angle ACB }[/math]. Для угла Брокара [math]\displaystyle{ \omega }[/math] выполняется следующее неравенство Йиффа: [math]\displaystyle{ 8\omega^3\le\alpha\beta\gamma }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha=\angle BAC,\beta=\angle ABC,\gamma=\angle ACB }[/math] — углы искомого треугольника.

В треугольнике [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] имеется также вторая точка Брокара [math]\displaystyle{ Q }[/math], такая, что отрезки прямых [math]\displaystyle{ AQ }[/math], [math]\displaystyle{ BQ }[/math] и [math]\displaystyle{ CQ }[/math] образуют один и тот же угол со сторонами [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math] и [math]\displaystyle{ a }[/math] соответственно: [math]\displaystyle{ \angle QCB = \angle QBA = \angle QAC }[/math]. Вторая точка Брокара изогонально сопряжена с первой точкой Брокара, то есть угол [math]\displaystyle{ \angle PBC = \angle PCA = \angle PAB }[/math] равен углу [math]\displaystyle{ \angle QCB = \angle QBA = \angle QAC }[/math].

Две точки Брокара тесно связаны друг с другом, различие между ними — в порядке, в котором нумеруются углы треугольника, так, например, первая точка Брокара треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] совпадает со второй точкой Брокара треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ACB }[/math].

Построение

Наиболее известное построение точек Брокара — на пересечении окружностей, строящихся следующим образом: для [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] проводится окружность через точки [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], касающаяся стороны [math]\displaystyle{ BC }[/math] (центр этой окружности находится в точке, которая лежит на пересечении серединного перпендикуляра к стороне [math]\displaystyle{ AB }[/math] с прямой, проходящей через [math]\displaystyle{ B }[/math] и перпендикулярной [math]\displaystyle{ BC }[/math]); аналогичным образом строится окружность через точки [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] и касающуюся стороны [math]\displaystyle{ AC }[/math]; третья окружность — через точки [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] и касающаяся стороны [math]\displaystyle{ AB }[/math]. Эти три окружности имеют общую точку пересечения, являющуюся первой точкой Брокара треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math]. Вторая точка Брокара строится аналогично — строятся окружности: через [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], касающаяся [math]\displaystyle{ AC }[/math]; через [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math], касающаяся [math]\displaystyle{ AB }[/math]; через [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math], касающаяся [math]\displaystyle{ BC }[/math].

Свойства

Однородные трилинейные координаты для первой и второй точек Брокара есть [math]\displaystyle{ c/b : a/c : b/a }[/math] и [math]\displaystyle{ b/c : c/a: a/b }[/math] соответственно. Таким образом, их барицентрические координаты соответственно [math]\displaystyle{ c^2a^2:a^2b^2:b^2c^2 }[/math] и [math]\displaystyle{ a^2b^2:b^2c^2:c^2a^2. }[/math]

Точки Брокара лежат на окружности Брокара — окружности, диаметрально построенной на отрезке, соединяющем центр описанной окружности с точкой Лемуана. На ней также лежат вершины первых двух треугольников Брокара. Точки Брокара сопряжены изогонально.

Точка Брокара — одна из 2 точек внутри треугольника, чьи чевианы образуют равные углы с тремя его сторонами, измеренными в трёх его вершинах.

См. также

• Окружность Брокара
• Окружность Нойберга
• Окружности Схоуте
• Треугольник Брокара

Литература

• С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1940. — С. 81—89. — 96 с.
• Akopyan, A. V. & Zaslavsky, A. A. (2007), Geometry of Conics, vol. 26, Mathematical World, American Mathematical Society, с. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9 
• Honsberger, Ross (1995), Chapter 10. The Brocard Points, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: The Mathematical Association of America 
• Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение (Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"). М.:МЦНМО, 2000. 24 с.
• Яковлев И. В. Материалы по математике. Изогональное сопряжение. С. 5-6// https://mathus.ru/math/isogonal.pdf