Точка Понселе

Точка Понселе — предмет следующей теоремы:

Для любой четверки точек [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math], отличной от ортоцентрической, окружности девяти точек треугольников [math]\displaystyle{ ABC }[/math], [math]\displaystyle{ BCD }[/math], [math]\displaystyle{ ABD }[/math], [math]\displaystyle{ ACD }[/math] пересекаются в одной точке, которую и называют точкой Понселе.

Замечание

• В теореме Понселе выше речь идет о системе 4 точек, не являющихся так называемой ортоцентрической системой 4 точек.
• Если в четвёрке точек [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math], [math]\displaystyle{ D }[/math] точка [math]\displaystyle{ D }[/math] является точкой пересечения высот треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек. Другие свойства ортоцентрической системы точек см. в статье ортоцентр.
• В определении выше для точки Понселе можно отказаться от упоминания ортоцентрической системы точек, если, например, заменить его системой 4 точек, образующих вершины выпуклого невырожденного четырехугольника, которые автоматически никогда не образуют ортоцентрическую систему точек.
• Кстати, если в определении выше для точки Понселе система 4 точек все-таки окажется ортоцентрической, то точка Понселе станет просто окружностью Эйлера (бесконечным множеством точек), общей для ортоцентрической системы точек.

Свойства точки Понселе

Если [math]\displaystyle{ H }[/math] — ортоцентр треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], то точки Понселе для четвёрок точек [math]\displaystyle{ ABCD }[/math], [math]\displaystyle{ ABHD }[/math], [math]\displaystyle{ AHCD }[/math], [math]\displaystyle{ HBCD }[/math] совпадают.

Точка Понселе четвёрки точек [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] лежит на педальной окружности точки [math]\displaystyle{ D }[/math] относительно треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], то есть на описанной окружности подерного треугольника точки [math]\displaystyle{ D }[/math] относительно треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math].

Точка Понселе четвёрки точек [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] является центром равнобокой гиперболы, проходящей через точки [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math], [math]\displaystyle{ D }[/math].

Точка Понселе четвёрки точек [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] лежит на чевианной окружности точки [math]\displaystyle{ D }[/math] относительно треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], то есть на окружности, содержащей основания чевиан треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], проходящих через точку [math]\displaystyle{ D }[/math].

Точка Понселе четвёрки [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] является серединой отрезка, соединяющего точки [math]\displaystyle{ D }[/math] и [math]\displaystyle{ D' }[/math], где [math]\displaystyle{ D' }[/math]- образ точки [math]\displaystyle{ D }[/math] при антигональном сопряжении относительно треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math]

Точки Понселе четвёрок [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] и [math]\displaystyle{ ABCD' }[/math] совпадают.

Замечание

• Антигональное сопряжение - тоже что и анти изогональное сопряжение.

Литература

• Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова.. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-477-4.
• Vonk, Jan (2009), The Feuerbach point and reflections of the Euler line, Forum Geometricorum Т. 9: 47–55, <http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG2009Volume9.pdf#page=51> 

См. также

• Точка Микеля