Идеальная точка
Несобственная точка, идеальная точка, омега-точка или бесконечно удалённая точка[1] — это вполне определённая[англ.] точка вне гиперболической плоскости или пространства. Если дана прямая l и точка P вне l, то проходящие через P прямые, справа и слева параллельные в пределе к прямой l, сходятся к l в идеальных точках.
В отличие от проективного случая, идеальные точки образуют границу, а не подмногообразие. Таким образом, эти прямые не пересекаются в идеальной точке, и такие точки, хотя они вполне определены[англ.], не принадлежат самому гиперболическому пространству.
Идеальные точки вместе образуют абсолют Кэли[англ.] или границу гиперболической геометрии. Например, единичная окружность образует абсолют Кэли дисковой модели Пуанкаре и дисковой модели Клейна. В это же время вещественная прямая образует абсолют Кэли модели полуплоскости[2].
Аксиома Паша и теорема о внешнем угле треугольника выполняются для омега-треугольника, который определяется двумя точками гиперболического пространства и омега-точкой[3].
Свойства
- Гиперболическое расстояние между идеальными точками и любой другой точкой или другой точкой равно бесконечности.
- Центры орициклов и орисфер являются идеальными точками. Два орицикла концентричны, когда они имеют один и тот же центр.
Многоугольники с идеальными вершинами
Идеальные треугольники
Если все вершины треугольника являются идеальными точками, треугольник является идеальным треугольником.
Идеальные треугольники имеют несколько интересных свойств:
- Все идеальные треугольники конгруэнтны.
- Внутренние углы идеального треугольника все равны нулю.
- Любой идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
- Любой идеальный треугольник имеет площадь [math]\displaystyle{ \pi / -K }[/math], где K равно (отрицательной) кривизне плоскости[4].
Идеальные четырёхугольники
Если все вершины четырёхугольника являются идеальными точками, четырёхугольник является идеальным четырёхугольником.
В то время как все идеальные треугольники конгруэнтны, не все четырёхугольники конгруэнтны, диагонали могут пересекаться под разными углами, что приводит к неконгруэнтности четырёхугольников, при этом:
- Внутренние углы идеального четырёхугольника все равны нулю.
- Любой идеальный четырёхугольник имеет бесконечный периметр.
- Любой идеальный (выпуклый без пересечений) четырёхугольник имеет площадь [math]\displaystyle{ 2 \pi / -K }[/math], где K равно (отрицательной) кривизне плоскости.
Идеальный квадрат
Идеальный четырёхугольник, у которого две диагонали перпендикулярны образует идеальный квадрат.
Идеальный квадрат использовал Фердинанд Карл Швейкарт в его меморандуме, в которой он упоминает «астральную геометрию». Это была одна из первых публикаций, допускающих возможность гиперболической геометрии[5].
Идеальные n-угольники
Как n-угольники могут быть разделены на (n − 2) идеальных треугольников, и площадь многоугольника будет равна площади идеального треугольника, умноженной на (n − 2).
Представления в моделях гиперболической геометрии
В дисковой модели Кляйна и дисковой модели Пуанкаре гиперболической плоскости идеальными точками являются единичные окружности (для гиперболической плоскости) или единичная сфера (для пространств большей размерности), которые являются недостижимой границей гиперболического пространства.
Одна и та же гиперболическая прямая в дисковой модели Кляйна и дисковой модели Пуанкаре будет проходить через те же две идеальные точки.
Дисковая модель Клейна
Если даны две различные точки p и q в открытом единичном диске, единственная прямая, соединяющая их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой
- [math]\displaystyle{ d(p,q) = \frac{1}{2} \log \frac{ \left| qa \right| \left| bp \right| }{ \left| pa \right| \left| bq \right| } , }[/math]
Дисковая модель Пуанкаре
Если заданы две различные точки p и q в открытом единичном диске, то единственная дуга окружности, ортогональная границе и соединяющая точки, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой
- [math]\displaystyle{ d(p,q) = \log \frac{ \left| qa \right| \left| bp \right| }{ \left| pa \right| \left| bq \right| } , }[/math]
Здесь расстояние измеряется вдоль (прямых) отрезков aq, ap, pb и qb.
Модель полуплоскости Пуанкаре
В модели полуплоскости идеальные точки — это точки на граничной оси. Существует также другая идеальная точка, которая не принадлежит модели полуплоскости (но лучи, параллельные положительной полуоси y, приближаются к ней).
Гиперболическая модель
В гиперболоидной модели нет никаких несобственных точек.
См. также
- Несобственный треугольник[англ.]
- Бесконечно удалённая точка для других геометрий.
Примечания
- ↑ Комацу, 1981, с. 103-104.
- ↑ Struve, Struve, 2010, с. 151–170.
- ↑ Hvidsten, 2005, с. 276–283.
- ↑ Thurston, 2012.
- ↑ Bonola, 1955, с. 75–77.
Литература
- Мацуо Комацу. Многообразие геометрии. — М.: Знание, 1981.
- Thomas Q. Sibley. The geometric viewpoint : a survey of geometries. — Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1998. — С. 109. — ISBN 0-201-87450-4.
- Horst Struve, Rolf Struve. Non-euclidean geometries: the Cayley-Klein approach // Journal of Geometry. — 2010. — Т. 89, вып. 1. — ISSN 0047-2468. — doi:10.1007/s00022-010-0053-z.
- Michael Hvidsten. Geometry with Geometry Explorer. — New York, NY, 2005. — ISBN 0-07-312990-9.
- Roberto Bonola. Non-Euclidean geometry : a critical and historical study of its developments. — New York, NY: Dover, 1955. — С. 75–77. — ISBN 0486600270.
- Dylan. 274 Curves on Surfaces, Lecture 5. — 2012.
 | Для улучшения этой статьи желательно: |