Закон квадрата — куба

Закон квадрата — куба представляет собой следующий принцип:

если объект пропорционально (то есть с помощью преобразования подобия) увеличивается (уменьшается) в размере, его новый объём будет пропорционален кубу масштабирующего коэффициента, а новая площадь его поверхности — пропорциональна квадрату:

[math]\displaystyle{ v_2=v_1\left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^3,\qquad A_2=A_1\left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^2, }[/math]

где: [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] — объём исходного объекта, [math]\displaystyle{ v_2 }[/math] — новый объём, [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] — площадь поверхности исходного объекта, [math]\displaystyle{ A_2 }[/math] — новая площадь поверхности, [math]\displaystyle{ \ell_1 }[/math] — линейный размер исходного объекта, а [math]\displaystyle{ \ell_2 }[/math] — новый линейный размер.

Например, куб с длиной стороны 1 метр имеет площадь поверхности 6 м² и объём 1 м³. Если длину стороны удвоить, площадь его поверхности увеличится в четыре раза — до 24 м², а его объём увеличится в 8 раз — до 8 м³. Этот принцип применим ко всем телам.

Этот закон находит своё применение в технике и биомеханике и базируется на математическом пересчёте размеров. Его первым продемонстрировал Галилео Галилей в 1638 году в Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze («Беседы и математические доказательства двух новых наук»).

Техника

Если физический объект увеличить в размерах при сохранении неизменной плотности материала, из которого он изготовлен, его масса увеличится пропорционально коэффициенту увеличения в третьей степени, в то время как площадь его поверхности — квадрату масштабного множителя. Это, в частности, означает, что, если сегменту поверхности увеличенного в размерах объекта, сообщить то же ускорение, что и оригиналу, на поверхность увеличившегося объекта будет действовать большее давление.

Рассмотрим простой пример — тело массой [math]\displaystyle{ m }[/math] имеет ускорение [math]\displaystyle{ a }[/math] и площадь поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math], на которую действует сила с этим ускорением. Сила, вызванная ускорением, — [math]\displaystyle{ F = ma }[/math], а давление на поверхность — [math]\displaystyle{ T = \tfrac{F}{S} = \tfrac{ma}{S}. }[/math] Теперь рассмотрим объект, размеры которого умножены на коэффициент [math]\displaystyle{ x }[/math] так, что его новая масса равна [math]\displaystyle{ m' = x^3 \cdot m }[/math], а поверхность, на которую действует сила, имеет новую площадь, [math]\displaystyle{ S' = x^2 \cdot S }[/math]. Тогда новая сила, вызванная ускорением, равна [math]\displaystyle{ F' = x^3 \cdot ma, }[/math] а результирующее давление на поверхность:

[math]\displaystyle{ \begin{align} T' &= \frac{F'}{S'} = \frac{x^3 \cdot ma}{x^2 \cdot S}=\\ &= x \frac{ma}{S} = x \cdot T.\\ \end{align} }[/math]

Таким образом, при увеличении размеров объекта с сохранением того же самого материала, из которого состоит объект, (а значит, и плотности) и ускорения давление, производимое им на поверхность, увеличится во столько же раз. Отсюда видно, что при увеличении объекта у него снизится способность сопротивляться напряжению и его окажется легче разрушить в процессе ускорения.

Это объясняет то, почему большие транспортные средства плохо выдерживают испытания на разрушения при столкновениях и почему есть пределы высоты строительства высотных зданий. Аналогично, чем больше размер объекта, тем меньше другие объекты окажут сопротивление движению, вызывая его замедление.

Биомеханика

Если размеры животного значительно увеличить, его мускульная сила серьёзно уменьшится, так как поперечное сечение его мускулов увеличится пропорционально квадрату коэффициента масштабирования, в то время как его масса увеличится пропорционально кубу этого коэффициента. В результате этого сердечно-сосудистые функции сильно ограничиваются. По этой причине, к примеру, насекомые могут поднимать вес, значительно превышающий свой собственный. Если летающих живых существ увеличить в размерах, их нагрузка на крылья должна возрасти, и поэтому им, чтобы сохранять ту же подъёмную силу, придётся махать с большей частотой. Это будет нелегко из-за того, что сила мускулов станет меньше. Это также объясняет, почему шмель может иметь размер тела, большой по сравнению с размахом его крыльев, тогда как для летающего животного, значительно большего, чем шмель, это было бы невозможно. Также для живых существ малых размеров велико сопротивление воздуха на единицу массы, и поэтому они не погибают, падая с любой высоты.

Кроме того, работа дыхательной системы насекомых зависит от величины поверхности тела. При увеличении объёма тела площадь его поверхности не сможет обеспечивать дыхание.

По этим причинам гигантские насекомые, пауки и другие животные, показываемые в фильмах ужасов, нереальны, поскольку такие крупные размеры вызвали бы их удушье и разрушение. Исключением являются гигантские водные животные (глубоководный гигантизм), так как вода способна поддерживать достаточно огромные существа.

Дж. Б. С. Холдейн высказал следующее мнение по поводу великанов:

Допустим, что существует человек-великан 60-ти футов высотой, подобный Попу и Язычнику-гигантам из сказок моего детства. Такие великаны не только в 10 раз выше среднего человека, но в 10 раз шире и в 10 раз плотнее, то есть их общий вес в 1000 раз превышает вес среднего человека, а следовательно, составляет от 80 до 90 тонн. Поперечный срез костей таких великанов в 100 раз превышает срез костей среднего человека; следовательно, каждый квадратный дюйм кости гиганта должен выдержать нагрузку в 10 раз большую, чем квадратный дюйм кости среднего человека. Учитывая, что берцовая кость человека разрушается при нагрузке, в 10 раз превышающей его вес, берцовая кость великанов должна была бы ломаться при каждом их шаге. Уж не потому ли на картинках, которые я ещё помню, они изображены сидящими?

Тепловые процессы

Закон квадрата — куба также примени́м к тепловым процессам: поверхность теплообмена возрастает пропорционально квадрату размера, а объём, содержащий или генерирующий теплоту, — пропорционально кубу. Следовательно, теплопотери в расчёте на единицу объёма объекта уменьшаются при увеличении его размеров и, наоборот, увеличиваются при уменьшении размеров. Поэтому, например, энергия, необходимая для обогрева или охлаждения единицы объёма склада, уменьшается с ростом размеров склада.

В технике

Закон имеет широкое применение в технике. К примеру, он служит причиной того, что для создания самолётов вдвое большей грузоподъёмности было бы бессмысленно простое пропорциональное удвоение всех размеров его частей — запрет на прямое масштабирование наложен законом квадрата — куба.

Электрические машины

Если считать, что при масштабировании электрической машины сохраняются плотность тока, магнитная индукция и частота вращения, то при увеличении всех размеров в a раз сила тока станет больше в a² раз (пропорционально площади поперечного сечения проводников). Магнитный поток также возрастёт в a² раз (пропорционально площади поперечного сечения магнитопровода), благодаря чему наводимая в обмотках ЭДС также возрастёт в a² раз.

То есть и сила тока, и напряжение (ЭДС) вырастут в a² раз, благодаря чему электрическая мощность (равная произведению силы тока на напряжение) вырастет в a⁴ раз. При этом тепловые потери вырастут только в a³ раз (пропорционально объёму проводников при неизменной плотности тока).

Таким образом, при увеличении размеров электрической машины пропорционально увеличивается её удельная мощность (на единицу массы) и не изменяются удельные потери теплоты (на единицу массы), а значит увеличивается КПД. В то же время усложняется теплоотвод, поскольку пропорционально растёт и удельный тепловой поток через все поверхности.

Всё это справедливо и для трансформаторов (при неизменной частоте тока).

Двигатели внутреннего сгорания

Если просто увеличить все размеры двигателя внутреннего сгорания в a раз при неизменной частоте вращения, то масса движущихся частей увеличится в a³ раз, а ускорение, с которым они движутся, — в a раз. Следовательно, все силы инерции^{[уточнить]} увеличатся в a⁴ раз, а, поскольку площадь трущихся поверхностей увеличится только в a² раз, удельная нагрузка на них увеличится в a² раз, что приведёт к их быстрому износу. Кроме того, в a раз увеличится скорость движения газов через клапаны, что значительно увеличит газодинамическое сопротивление и ухудшит наполнение цилиндров.

Поэтому при пропорциональном увеличении ДВС приходится пропорционально уменьшать частоту вращения (сохраняя неизменной среднюю скорость поршня). Тогда остаются неизменными удельная нагрузка на трущиеся поверхности и скорость движения газов через клапаны. Однако удельная мощность (на единицу массы) и литровая мощность при этом пропорционально уменьшаются. Разрешить такое «утяжеление» двигателя можно путём увеличения числа цилиндров, однако это усложняет его конструкцию.

Судостроение

Приближённо можно считать, что сопротивление движению судна (при неизменной скорости) пропорционально площади поперечного сечения корпуса на миделе. Таким образом, при увеличении всех размеров судна в a раз его масса вырастет в a³ раз, а сопротивление движению только в a² раз. Следовательно, в плане расхода топлива на единицу массы экономичнее более крупные суда. Кроме того, если доля запасов топлива в общей массе судна неизменна, то дальность плавания без дозаправки также увеличится в a раз.

По той же причине топливная экономичность и дальность полёта дирижаблей растут пропорционально их размерам (в отличие от самолётов, у которых эти параметры определяются в основном их аэродинамическим качеством).

Для парусного судна важна устойчивость к опрокидывающему моменту, создаваемому парусами. При увеличении всех размеров судна в a раз площадь парусов увеличится в a² раз, а создаваемый ими опрокидывающий момент силы в a³ раз (поскольку ещё и плечо силы увеличится в a раз). В то же время момент, который выравнивает крен и возникает благодаря корпусу при крене, увеличится в a⁴ раз (масса корпуса и вытесненной воды вырастет в a³ раз, при этом плечо силы увеличится в a раз). Следовательно, при простом геометрическом масштабировании крупные парусные суда более остойчивы к крену, создаваемому моментом парусов. По этой причине большие парусники не нуждаются в развитых балластных килях, типичных для малых парусных яхт. С другой стороны, на более крупном судне, если конструкция сохраняется одна и та же, можно поставить паруса непропорционально большей площади и, соответственно, получить увеличение скорости.

См. также

• Биомеханика
• Аллометрия
• Вычислительная сложность
• Закон обратных квадратов
• Закон степени трёх вторых
• Теория решения изобретательских задач

Ссылки

• Wayne Throop. «Sauropods, Elephants, Weightlifters: Miscellaneous Issues» (англ.).
• «World Builders: The Limits to Animal Size — Size to Volume Ratio». (англ.)
• Michael C. LaBarbera. «The Biology of B-Movie Monsters»(англ.)