Гипергеометрическая функция

Гипергеометрическая функция (функция Гаусса) определяется внутри круга [math]\displaystyle{ |z|\lt 1 }[/math] как сумма гипергеометрического ряда

[math]\displaystyle{ F(a,b;c;z) = 1+ \sum^\infty_{k=1} \left[ \prod^{k-1}_{l=0} { ( a + l )( b + l ) \over ( 1 + l )( c + l ) } \right]z^k = 1+ \frac{a b}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a (a+1) b (b+1)}{c (c+1)} \frac{z^2}{2!} + \dots, }[/math]

а при [math]\displaystyle{ |z|\gt 1 }[/math] — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка, называемого гипергеометрическим уравнением.

История

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n}. }[/math]

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернхард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнение

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера [math]\displaystyle{ z(1-z) \frac{d^2 u}{dz^2} + [c - (a + b +1)z]\frac{d u}{dz} - a b u =0, }[/math] где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и [math]\displaystyle{ \infty }[/math].

Когда параметр [math]\displaystyle{ c }[/math] не равен нулю и отрицательным целым числам [math]\displaystyle{ (c \neq 0, -1, -2, \ldots) }[/math] регулярное в нуле решение уравнения Эйлера будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

[math]\displaystyle{ _2F_1(a,b;c;z) \equiv F(a,b;c;z) = 1+ \frac{a b}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a (a+1) b (b+1)}{c (c+1)} \frac{z^2}{2!} + \dots. }[/math]

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение (символ Похгаммера)

[math]\displaystyle{ (p)_n = \frac{\Gamma(p + n)}{\Gamma(p)}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — гамма-функция. Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

[math]\displaystyle{ F(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n z^n}{(c)_nn!}. }[/math]

Обозначение [math]\displaystyle{ _2F_1(a,b;c;z) }[/math] указывают, что есть два параметра, a и b, «идущие в числитель», и один, c, «идущий в знаменатель». На границе [math]\displaystyle{ |z|=1 }[/math] ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы [math]\displaystyle{ a+b-c \lt 0 }[/math], условно сходится при [math]\displaystyle{ z\neq 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 0 \le a+b-c \lt 1 }[/math] и расходится, если [math]\displaystyle{ a+b-c \ge 1 }[/math]. Второе линейно независимое решение дифференциального уравнения Эйлера имеет вид

[math]\displaystyle{ \ z^{1-c}F(b - c +1, a - c +1; 2 - c; z) }[/math]

Оно имеет особую точку при [math]\displaystyle{ z=0 }[/math] и справедливо при всех неположительных [math]\displaystyle{ c }[/math] [math]\displaystyle{ (c = 0, -1, -2, \ldots) }[/math].

Интегральное представление для гипергеометрической функции при [math]\displaystyle{ \text{Re} (c) \gt \text{Re} (b) \gt 0 }[/math] (формула Эйлера) может быть записано следующим образом:

[math]\displaystyle{ F(a,b;c;z) = { \Gamma(c) \over \Gamma(b)\Gamma(c-b) } \int\limits_{0}^{1} t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-tz)^{-a} \,dt, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Gamma(x) }[/math] — гамма-функция Эйлера. Это выражение представляет собой однозначную аналитическую функцию на комплексной [math]\displaystyle{ z }[/math]-плоскости с разрезом вдоль действительной оси от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ \infty }[/math] и обеспечивает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость для гипергеометрического ряда, сходящегося лишь при [math]\displaystyle{ \left| z \right| \lt 1 }[/math].

Частные значения при [math]\displaystyle{ z = 1 / 2 }[/math]

Вторая теорема суммации Гаусса выражается формулой:

[math]\displaystyle{ _2F_1 \left(a,b;\tfrac12\left(1+a+b\right);\tfrac12\right) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\Gamma(\tfrac12\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac12\left(1+b\right))}. }[/math]

Теорема Бейли выражается формулой:

[math]\displaystyle{ _2F_1 \left(a,1-a;c;\tfrac12\right)= \frac{\Gamma(\tfrac12c)\Gamma(\tfrac12\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac12\left(1+c-a\right))}. }[/math]

Запись других функций через гипергеометрическую

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

Примеры

• [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^n = F(-n,b;b;-x) }[/math]
• [math]\displaystyle{ x^n = F\left(-n,b;b;1-x\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ {1 \over x} \ln(1+x) = F(1,1;2;-x) }[/math]

[math]\displaystyle{ {1 \over x} \arcsin(x) = F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};x^2 \right) }[/math]

• [math]\displaystyle{ e^x = \lim_{n \to \infty} F\left(1,n;1;{x \over n}\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \cos x = \lim_{a,\;b \to \infty} F\left(a,b;\frac{1}{2}; -\frac{x^2}{4 a b}\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \cosh x = \lim_{a,\;b \to \infty} F\left(a,b;\frac{1}{2};{ x^2 \over 4 a b}\right) }[/math]
• Полный эллиптический интеграл первого рода:

  [math]\displaystyle{ K(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}} = \frac{\pi}{2} F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right) }[/math]

• Полный эллиптический интеграл второго рода:

  [math]\displaystyle{ E(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}\,d\varphi = \frac{\pi}{2} F\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right) }[/math]

• Полином Лежандра:

  [math]\displaystyle{ P_n(x)= F(n+1,-n;1;\frac{1-x}{2}) }[/math]

• Присоединённая функция Лежандра:

  [math]\displaystyle{ P_{n,\;m}(x) = (1-x^2)^{\frac{m}{2}} { \Gamma(n+m+1) \over 2^m\Gamma(n-m+1)\Gamma(m+1) } F\left(n+m+1,m-n;m+1;\frac{1-x}{2}\right) }[/math]

• Функции Бесселя:

  [math]\displaystyle{ J_\nu(x)= \lim_{a,\;b \to \infty} \left[ \frac{\left(\dfrac{x}{2}\right)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} F\left(a,b;\nu+1; -\frac{x^2}{4 a b}\right) \right] }[/math]

• Функция Куммера (Похгаммера), или вырожденная гипергеометрическая функция

  [math]\displaystyle{ M(a,c,z)={}_1F_1(a,c,z)=\lim_{b\to\infty}F(a,b;c;z/b) }[/math]

  является решением вырожденного гипергеометрического уравнения

  [math]\displaystyle{ z\frac{d^2w}{dz^2} + (c-z)\frac{dw}{dz} - aw = 0. }[/math]

• Вырожденная гипергеометрическая функция с целым неположительным первым аргументом представляет собой обобщённый полином Лагерра:

  [math]\displaystyle{ L_n^\lambda(x)={}_1F_1(-n,\lambda,x). }[/math]

Тождества

• [math]\displaystyle{ 27\, (z-1)^2\cdot{_2F_1} \left(\tfrac14,\tfrac34; \tfrac23; z\right)^8+18\,(z-1)\cdot{_2F_1 }\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^4-8\cdot{_2F_1}\left( \tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^2=1 }[/math]
• И замечательный частный случай предыдущего выражения:

  [math]\displaystyle{ _2F_1\left( \frac14, \frac34;\, \frac23;\,\frac13\right)=\frac1{\sqrt{\sqrt{\frac4{\sqrt{2-\sqrt[3]4}}+\sqrt[3]{4}+4}-\sqrt{2-\sqrt[3]4}-2}} }[/math]

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М., 1977. — Т. 1.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:"Высшая школа", 1962
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения
• Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Theory of Hypergeometric Functions / Transl. by Kenji Iohara. — Springer, 2011. — Vol. 305. — 317 p. — (Springer Monographs in Mathematics Series). — ISBN 9784431539124.
• Scott J. F. The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703). — American Mathematical Soc., 1981. — 240 p. — (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146.