Вторая квадратичная форма

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхностиквадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Вторая квадратичная форма часто обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{I\!I} }[/math], а её компоненты традиционно обозначаются [math]\displaystyle{ L }[/math], [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math].

Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.

Определение

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot \rangle }[/math] поверхность задана уравнением [math]\displaystyle{ r = r (u, v), }[/math] где [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math] ― внутренние координаты на поверхности; [math]\displaystyle{ dr= r_u du + r_v dv }[/math] ― дифференциал радиус-вектора [math]\displaystyle{ r }[/math] вдоль выбранного направления смещения из точки [math]\displaystyle{ M }[/math] в бесконечно близкую точку [math]\displaystyle{ M' }[/math]; [math]\displaystyle{ n }[/math] — нормальный вектор к поверхности в точке [math]\displaystyle{ M }[/math]. Тогда вторая квадратичная форма имеет вид

[math]\displaystyle{ \mathrm{I\!I} = L du^2 + 2M du dv + N dv^2, }[/math]

где коэффициенты определяются формулами:

[math]\displaystyle{ L = \langle r_{uu}, n\rangle = - \langle r_{u}, n_{u}\rangle = \frac{(r_{uu},r_{u},r_{v})}{\sqrt{EG-F^2}}, }[/math]
[math]\displaystyle{ M = \langle r_{uv}, n\rangle = - \langle r_{u}, n_{v}\rangle = - \langle r_{v}, n_{u}\rangle = \frac{(r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt{EG-F^2}}, }[/math]
[math]\displaystyle{ N = \langle r_{vv}, n\rangle = - \langle r_{v}, n_{v}\rangle = \frac{(r_{vv},r_{u},r_{v})}{\sqrt{EG-F^2}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot,\cdot) }[/math] обозначает смешанное произведение векторов и [math]\displaystyle{ E =|r_u|^2, }[/math] [math]\displaystyle{ F = \langle r_u, r_v\rangle, }[/math] [math]\displaystyle{ G=|r_v|^2 }[/math] ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Связанные определения

  • Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор [math]\displaystyle{ S }[/math] на касательной плоскости определяемый как
    [math]\displaystyle{ S(V)=-\nabla_V\nu, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \nu }[/math] — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:
[math]\displaystyle{ \langle S(V),W\rangle=\mathrm{I\!I}(V,W). }[/math]
  • Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
    • Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.
  • Нормальная кривизна [math]\displaystyle{ k_V }[/math] по направлению [math]\displaystyle{ V }[/math] вычисляется по формуле
    [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm I\!\mathrm I(V,V)}{\mathrm I(V,V)}=\langle S(V),V\rangle/|V|^2 }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathrm I }[/math]первая квадратичная форма.
  • Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.

Вычисление

График функции

В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции [math]\displaystyle{ z=f(x,y) }[/math] в трёхмерном евклидовом пространстве с коэффициентами [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math], коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:

[math]\displaystyle{ L = \frac{f_{xx}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}, \ \ \ M = \frac{f_{xy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}, \ \ \ N = \frac{f_{yy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}. }[/math]

Вариации и обобщения

Гиперповерхности

Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot \rangle }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ {r}:\mathbb{R}^{m-1}\rightarrow\mathbb{R}^{m} }[/math] — локальная карта поверхности в точке [math]\displaystyle{ P }[/math].

Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле

[math]\displaystyle{ q_{ij}=\biggl\langle{n},\frac{\partial^2 {r}}{\partial u^i \partial u^j}\biggr\rangle, \ \ \ i,j=1, \ldots, m-1, }[/math]

где [math]\displaystyle{ n }[/math] обозначает единичный вектор нормали.

Большая коразмерность

Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.[1]

[math]\displaystyle{ \mathrm{I\!I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot, }[/math]

где [math]\displaystyle{ (\nabla_v w)^\bot }[/math] обозначает проекцию ковариантной производной [math]\displaystyle{ \nabla_v w }[/math] на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве.

Для подмногообразий евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

[math]\displaystyle{ \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle. }[/math]

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие [math]\displaystyle{ N }[/math] вложено в риманово многообразие [math]\displaystyle{ (M,g) }[/math] тогда тензор кривизны [math]\displaystyle{ R_N }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ N }[/math] снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны [math]\displaystyle{ R_M }[/math] объемлющего многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math]:

[math]\displaystyle{ \langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle. }[/math]

См. также

Примечания

  1. c. 128 в M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992

Литература

  • Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.
  • Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.