Вторая квадратичная форма
Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.
Вторая квадратичная форма часто обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{I\!I} }[/math], а её компоненты традиционно обозначаются [math]\displaystyle{ L }[/math], [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math].
Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.
Определение
Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot \rangle }[/math] поверхность задана уравнением [math]\displaystyle{ r = r (u, v), }[/math] где [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math] ― внутренние координаты на поверхности; [math]\displaystyle{ dr= r_u du + r_v dv }[/math] ― дифференциал радиус-вектора [math]\displaystyle{ r }[/math] вдоль выбранного направления смещения из точки [math]\displaystyle{ M }[/math] в бесконечно близкую точку [math]\displaystyle{ M' }[/math]; [math]\displaystyle{ n }[/math] — нормальный вектор к поверхности в точке [math]\displaystyle{ M }[/math]. Тогда вторая квадратичная форма имеет вид
- [math]\displaystyle{ \mathrm{I\!I} = L du^2 + 2M du dv + N dv^2, }[/math]
где коэффициенты определяются формулами:
- [math]\displaystyle{ L = \langle r_{uu}, n\rangle = - \langle r_{u}, n_{u}\rangle = \frac{(r_{uu},r_{u},r_{v})}{\sqrt{EG-F^2}}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ M = \langle r_{uv}, n\rangle = - \langle r_{u}, n_{v}\rangle = - \langle r_{v}, n_{u}\rangle = \frac{(r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt{EG-F^2}}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ N = \langle r_{vv}, n\rangle = - \langle r_{v}, n_{v}\rangle = \frac{(r_{vv},r_{u},r_{v})}{\sqrt{EG-F^2}}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot,\cdot) }[/math] обозначает смешанное произведение векторов и [math]\displaystyle{ E =|r_u|^2, }[/math] [math]\displaystyle{ F = \langle r_u, r_v\rangle, }[/math] [math]\displaystyle{ G=|r_v|^2 }[/math] ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.
Связанные определения
- Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор [math]\displaystyle{ S }[/math] на касательной плоскости определяемый как
- [math]\displaystyle{ S(V)=-\nabla_V\nu, }[/math]
- где [math]\displaystyle{ \nu }[/math] — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:
- [math]\displaystyle{ \langle S(V),W\rangle=\mathrm{I\!I}(V,W). }[/math]
- Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
- Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.
- Нормальная кривизна [math]\displaystyle{ k_V }[/math] по направлению [math]\displaystyle{ V }[/math] вычисляется по формуле
- [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm I\!\mathrm I(V,V)}{\mathrm I(V,V)}=\langle S(V),V\rangle/|V|^2 }[/math]
- где [math]\displaystyle{ \mathrm I }[/math] — первая квадратичная форма.
- Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.
Вычисление
График функции
В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции [math]\displaystyle{ z=f(x,y) }[/math] в трёхмерном евклидовом пространстве с коэффициентами [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math], коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:
- [math]\displaystyle{ L = \frac{f_{xx}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}, \ \ \ M = \frac{f_{xy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}, \ \ \ N = \frac{f_{yy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}. }[/math]
Вариации и обобщения
Гиперповерхности
Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot \rangle }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ {r}:\mathbb{R}^{m-1}\rightarrow\mathbb{R}^{m} }[/math] — локальная карта поверхности в точке [math]\displaystyle{ P }[/math].
Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле
- [math]\displaystyle{ q_{ij}=\biggl\langle{n},\frac{\partial^2 {r}}{\partial u^i \partial u^j}\biggr\rangle, \ \ \ i,j=1, \ldots, m-1, }[/math]
где [math]\displaystyle{ n }[/math] обозначает единичный вектор нормали.
Большая коразмерность
Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.[1]
- [math]\displaystyle{ \mathrm{I\!I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot, }[/math]
где [math]\displaystyle{ (\nabla_v w)^\bot }[/math] обозначает проекцию ковариантной производной [math]\displaystyle{ \nabla_v w }[/math] на нормальное пространство.
В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве.
Для подмногообразий евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:
- [math]\displaystyle{ \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle. }[/math]
Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие [math]\displaystyle{ N }[/math] вложено в риманово многообразие [math]\displaystyle{ (M,g) }[/math] тогда тензор кривизны [math]\displaystyle{ R_N }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ N }[/math] снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны [math]\displaystyle{ R_M }[/math] объемлющего многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle. }[/math]
См. также
Примечания
- ↑ c. 128 в M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992
Литература
- Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.
- Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.