Уравнения Петерсона ― Кодацци
Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.
Уравнения
Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial b_{i1}}{\partial u^2} +\Gamma^1_{i1}b_{12}+\Gamma^2_{i1}b_{22}= \frac{\partial b_{i2}}{\partial u^1} +\Gamma^1_{i2}b_{11}+\Gamma^2_{i2}b_{21} }[/math]
где [math]\displaystyle{ b_{ij} }[/math] ― коэффициенты второй квадратичной формы, [math]\displaystyle{ \Gamma^i_{jk} }[/math] ― символы Кристоффеля.
Свойства
- Теорема Бонне. Если [math]\displaystyle{ g=g_{ij} }[/math] и [math]\displaystyle{ b=b_{ij} }[/math], [math]\displaystyle{ i,j\in \{1,2\} }[/math] две гладкие квадратичные формы в области [math]\displaystyle{ U }[/math] удовлетворяющие уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math], для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
- Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.
История
Уравнения впервые найдены Петерсоном[1] в 1853, переоткрыты Майнарди[2] и Кодацци(1867)[3].
Примечания
- ↑ Peterson, K. M. "Über die Biegung der Flächen." Dorpat. Kandidatenschrift. 1853.
- ↑ Mainardi, G. "Sulle coordinate curvilinee d'una superfice dello spazio." Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385—398, 1856.
- ↑ Codazzi, D. "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio." Ann. math. pura applicata 2, 101—19, 1868—1869.
Литература
- Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.
- Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.