Асимптотическая кривая

Асимптотическая кривая (асимптотическая линия) — кривая [math]\displaystyle{ \gamma=\gamma(t) }[/math] на гладкой регулярной поверхности [math]\displaystyle{ F }[/math] в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности [math]\displaystyle{ F }[/math], т.е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую кривизну. Так как нормальные сечения с нулевой кривизной существуют не во всех точках поверхности, то и асимптотические линии, вообще говоря, заполняют не всю поверхность. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением

[math]\displaystyle{ \mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))=0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathrm{I\!I} }[/math] — вторая фундаментальная форма поверхности [math]\displaystyle{ F }[/math].

Три типа точек поверхности

Точки, в которых гауссова кривизна [math]\displaystyle{ K\lt 0 }[/math], называются гиперболическими (примером поверхности, целиком состоящей из гиперболических точек, служит однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид); точки, в которых гауссова кривизна [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math], называются эллиптическими (примером поверхности, целиком состоящей из эллиптических точек, служит эллипсоид или двуполостный гиперболоид); точки, в которых гауссова кривизна [math]\displaystyle{ K=0 }[/math], но средняя кривизна [math]\displaystyle{ K \neq 0 }[/math], называются параболическими (примером поверхности, целиком состоящей из параболических точек, служит цилиндр). Параболические точки, как правило, образуют кривую, разделяющую поверхность на эллиптическую и гиперболическую области.

В области эллиптических точек асимптотических линий нет. В области гиперболических точек имеется ровно два семейства асимптотических линий, составляющие так называемую асимптотическую сеть: через каждую гиперболическую точку проходит по одной линии каждого семейства, они пересекаются под ненулевым углом. В параболических точках асимптотические линии имеют, как правило, особенность типа точки возврата (касп) и представляют собой полукубические параболы, лежащие (за исключением самой точки возврата) в гиперболической области, примыкающей к параболической линии.

Свойства

• Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к [math]\displaystyle{ F }[/math] в той же точке.
• (Теорема Бельтрами — Эннепера) Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности [math]\displaystyle{ F }[/math].
• Прямолинейный отрезок на поверхности [math]\displaystyle{ F }[/math] всегда является асимптотической кривой. В частности, асимптотическими кривыми являются прямолинейные образующие поверхности.
• На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырёхугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] (формула Хаццидакиса).
• На минимальной поверхности асимптотическая сеть является ортогональной сетью.
• При проективном преобразовании [math]\displaystyle{ \pi }[/math] пространства асимптотические кривые поверхности [math]\displaystyle{ F }[/math] переходят в асимптотические кривые преобразованной поверхности [math]\displaystyle{ \pi(F) }[/math].

Уравнение для графика функции

Пусть в евклидовом пространстве с координатами [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math] и метрикой [math]\displaystyle{ ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2 }[/math] поверхность задана в виде графика функции [math]\displaystyle{ z=f(x,y) }[/math]. Тогда в координатах [math]\displaystyle{ x,y }[/math] асимптотические линии поверхности задаются дифференциальным уравнением [math]\displaystyle{ f_{yy} \, dy^2 + 2f_{xy} \, dx dy + f_{xx} \, dx^2 = 0. }[/math] Введя обозначение [math]\displaystyle{ p=dy/dx }[/math], его можно переписать в виде [math]\displaystyle{ f_{yy} p^2 + 2f_{xy} p + f_{xx} = 0. }[/math] Дискриминант [math]\displaystyle{ \Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy} }[/math] стоящего в левой части квадратного трёхчлена (относительно переменной [math]\displaystyle{ p }[/math]) совпадает с гессианом функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math], взятым с обратным знаком, и уравнение [math]\displaystyle{ \Delta=0 }[/math] задает на плоскости [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] кривую, состоящую из параболических точек поверхности (при условии, что один из коэффициентов [math]\displaystyle{ f_{xx} }[/math] или [math]\displaystyle{ f_{yy} }[/math] отличен от нуля), которая также является дискриминантной кривой данного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной. В типичном случае почти во всех параболических точках это уравнение имеет нормальную форму Чибрарио, исключение составляют лишь точки, лежащие на дискриминантной кривой дискретно, в них нормальная форма уравнения более сложна. Ещё более сложную нормальную форму уравнение асимптотических линий имеет в точках, где все три коэффициента [math]\displaystyle{ f_{xx} }[/math], [math]\displaystyle{ f_{xy} }[/math], [math]\displaystyle{ f_{yy} }[/math] обращаются в нуль одновременно, — это так называемые плоские омбилики, в которых [math]\displaystyle{ H=K=0 }[/math], т.е. все нормальные сечения поверхности имеют нулевую кривизну.

Примеры

• Все точки однополостного гиперболоида [math]\displaystyle{ x^2+y^2-z^2=1 }[/math] относятся к гиперболическому типу. Уравнение асимптотических линий в данном случае принимает вид [math]\displaystyle{ (x^2-1)p^2 - 2xyp + y^2-1 = 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ p=dy/dx }[/math]. Как легко проверить, общее решение этого уравнения задается формулой [math]\displaystyle{ y=ax+b }[/math], где параметры [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] подчинены соотношению [math]\displaystyle{ b^2-a^2=1 }[/math]. Тем самым мы получаем два семейства (соответствующих разным знакам [math]\displaystyle{ \pm }[/math] в формуле [math]\displaystyle{ b = \pm \sqrt{a^2+1} }[/math]) асимптотических линий однополостного гиперболоида, совпадающих с семействами его прямолинейных образующих.

• Асимтотические линии конуса [math]\displaystyle{ x^2+y^2-z^2=0 }[/math] также совпадают с его прямолинейными образующими. Так как все точки конуса параболические, то мы имеем ровно одно семейство асимптотических линий.

• В случае поверхности, заданной уравнением [math]\displaystyle{ z=y^2 + x^2y + ax^4 }[/math], имеем [math]\displaystyle{ \Delta = (1-6a)x^2 - y }[/math]. Линия параболических точек ([math]\displaystyle{ y=(1-6a)x^2 }[/math]) делит поверхность на эллиптическую ([math]\displaystyle{ y\gt (1-6a)x^2 }[/math]) и гиперболическую ([math]\displaystyle{ y\lt (1-6a)x^2 }[/math]) области. В последней расположены два семейства асимптотических линий. Во всех параболических точках, за исключением начала координат ([math]\displaystyle{ x=y=0 }[/math]), уравнение асимптотических линий имеет нормальную форму Чибрарио, следовательно, асимптотические линии в окрестности этих точек имеют вид полукубических парабол. В начале координат сеть асимптотических линий имеет более сложную особенность, характер которой зависит от параметра [math]\displaystyle{ a }[/math], см. статью.

• Асимптотическими кривыми на торе, заданном параметрически в виде:

  [math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} x(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \cos \psi \\ y(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \sin \psi \\ z(\phi,\psi) = & r \sin \phi \\ \end{matrix} \right. \qquad \phi, \psi \in [0,2\pi), }[/math]

являются два параллели [math]\displaystyle{ z=\pm r }[/math], разделяющие гиперболические и эллиптические области и целиком состоящие из параболических точек, и бесконечное число кривых специального вида, осциллирующих между этими двумя параллелями.

• Асимптотической кривой является ребро возврата на псевдосфере.

Литература

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Любое издание.
• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.