Третья квадратичная форма
Третья квадратичная форма — один из способов описывать кривизны поверхности. Обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathbf{I\!I\!I} }[/math].
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] обозначает оператор формы гладкой поверхности [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]. Кроме того, пусть [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math] — элементы касательного пространства [math]\displaystyle{ T_p }[/math] в точке [math]\displaystyle{ p\in\Sigma }[/math]. Третья фундаментальная форма определяется как следующее скалярное произведение
- [math]\displaystyle{ \mathbf{I\!I\!I}(u,v)=\langle S(u), S(v)\rangle. }[/math]
Свойства
- Третья квадратичная форма не зависит от знака нормали поверхности. (Это отличает её от второй квадратичной формы, которая меняет знак при смене знака нормали)
- Третья квадратичная форма выражается через первую и вторую квадратичную форму.
- [math]\displaystyle{ \mathbf{I\!I\!I}-2\cdot H\cdot \mathbf{I\!I}+K\cdot \mathbf{I}=0, }[/math]
- где [math]\displaystyle{ H }[/math] — средняя кривизна поверхности и [math]\displaystyle{ K }[/math] — гауссова кривизна поверхности.
- Поскольку оператор формы самосопряжён, для [math]\displaystyle{ u,v\in T_p(M) }[/math] мы имеем
- [math]\displaystyle{ \mathbf{I\!I\!I}(u,v)=\langle Su,Sv\rangle=\langle u,S^2v\rangle=\langle S^2u,v\rangle }[/math].