Относительная внутренность

Относительная внутренность множества — это уточнение концепции внутренности, которое может быть более полезно при работе с множествами низкой размерности в пространствах высокой размерности.

Определение

Формально, относительная внутренность [math]\displaystyle{ r }[/math] множества [math]\displaystyle{ S }[/math] (которая обозначается как [math]\displaystyle{ \operatorname{relint}(S) }[/math]) определяется как его внутренность в аффинной оболочке множества [math]\displaystyle{ S }[/math]. Другими словами,

[math]\displaystyle{ \operatorname{relint}(S) := \{ x \in S | \exists\varepsilon \gt 0, N_\varepsilon(x) \cap \operatorname{aff}(S) \subseteq S \}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \operatorname{aff}(S) }[/math] означает аффинную оболочку множества [math]\displaystyle{ S }[/math], а [math]\displaystyle{ N_\varepsilon(x) }[/math] означает шар радиуса [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] с центром в [math]\displaystyle{ x }[/math]. Может быть использована любая метрика для построения шара, все метрики определяют одно и то же множество в качестве относительной внутренности.

Для любого непустого выпуклого множества [math]\displaystyle{ C \subseteq \mathbb{R}^n }[/math] относительная внутренность может быть определена как

[math]\displaystyle{ \operatorname{relint}(C) := \{x \in C | \forall {y \in C} \; \exists {\lambda \gt 1}: \lambda x + (1-\lambda)y \in C\}. }[/math].

См. также

• Внутренность
• Алгебраическая внутренность
• Квазотносительная внутренность

Литература для дальнейшего чтения

• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — С. 23. — ISBN 0-521-83378-7.