Интегральная показательная функция
Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} }[/math].
Определение на множестве вещественных чисел
Наиболее распространено следующее определение [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} }[/math] (см. график):
[math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} (x)=\mathrm{v.p.}\int\limits_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt =\gamma+\operatorname{ln}|x|+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}, \; x\in\mathbb R,\; (1) }[/math]
где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] есть постоянная Эйлера. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]
Основное определение
Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом[1]
[math]\displaystyle{ \operatorname{Ei}(z)=\int\limits_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt =\gamma+\operatorname{ln}(-z)+\sum\limits_{n\ge1}\frac{z^n}{n!\cdot n}, \; |\arg(-z)|\lt \pi, \;(2) }[/math]
Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от [math]\displaystyle{ z }[/math], но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку [math]\displaystyle{ t=0 }[/math], в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно [math]\displaystyle{ 1/t }[/math]. Таким образом, функция [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei}(z) }[/math] является многозначной, а особая точка [math]\displaystyle{ z=0 }[/math] является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией [math]\displaystyle{ \operatorname{ln}z }[/math], различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном [math]\displaystyle{ z }[/math]) кратно [math]\displaystyle{ 2\pi i }[/math].
Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} }[/math], соответствующую главной ветви [math]\displaystyle{ \operatorname{ln} }[/math] в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для [math]\displaystyle{ \operatorname{ln}z }[/math] (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei}(z) }[/math]. Фиксируем также и главную ветвь аргумента: [math]\displaystyle{ -\pi\lt \operatorname{arg}z\le\pi }[/math] и далее будем считать, что [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} }[/math] — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.
Возникновение [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} }[/math] при вычислении интегралов
Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} }[/math] и элементарные функции.[1]
В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math])
[math]\displaystyle{ \int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+iz}= \begin{cases} -e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz),& \operatorname{arg}z\not\in[\pi/2,\pi],\\ -e^{bz}\left[\operatorname{Ei}(-bz)-2\pi i\right],& \operatorname{arg}z\in(\pi/2,\pi). \end{cases}\;(2) }[/math]
Из (2) следует, что при вещественных значениях [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\limits_0^{\infty}\frac{x\cos bx\,\mathrm dx}{x^2+y^2}= -\frac12\left[e^{|by|}\operatorname{Ei}(-|by|)+e^{-|by|}\operatorname{Ei}_1(|by|)\right],\;(3) }[/math]
где [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei}_1 }[/math] есть т. н. модифицированная интегральная показательная функция[1]:
[math]\displaystyle{ \operatorname{Ei}_1 (y)=\frac12 \left[\operatorname{Ei}(y+i0)+\operatorname{Ei}(y-i0)\right] =\gamma+\operatorname{ln}y+\sum\limits_{n\ge 1}\frac{y^n}{n!\cdot n},\; y\gt 0,\;\operatorname{Ei}_1 (y)\in\mathbb R.\;(4) }[/math]
Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei}_1 }[/math] обозначают символом [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} }[/math], что может приводить к ошибкам.
При получении результата (3) было использовано значение интеграла
[math]\displaystyle{ \int_0^\infty\frac{x\sin bx\,\mathrm dx}{x^2+z^2}=\frac\pi2\operatorname{exp}[-bz\operatorname{sign}\Im z],\;b\gt 0. }[/math]
Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math]. Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} }[/math]] символа [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei}_1 }[/math].
Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра [math]\displaystyle{ z }[/math]:
[math]\displaystyle{ \int_0^\infty\frac{x\cos bx\,\mathrm dx}{x^2+z^2}= -\frac12\left\{e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz)+e^{-bz}\left[\operatorname{Ei}(bz) +\pi i\operatorname{sign}\Im z\right]\right\},\;b\gt 0,\; \Re z\ne 0.\;(5) }[/math]
Формулу (3) для [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ y\gt 0 }[/math] можно получить, положив [math]\displaystyle{ z=y\pm i0 }[/math] в (5).
Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[2], однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений [math]\displaystyle{ z }[/math] и при условии, что для функции [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} }[/math] используется определение (1).
Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei} }[/math] вместо [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei}_1 }[/math]) нельзя полностью доверять также и справочникам.[источник не указан 1537 дней]
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения. — 2. — 1963.
- ↑ Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — Изд. 2-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 1. — С. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7.