Башня полей

Башня полей — последовательность из расширений для некоторого поля [math]\displaystyle{ K }[/math]: [math]\displaystyle{ K \subset K_1 \subset \dots \subset K_i \subset \dots }[/math], может быть конечной или бесконечной. Часто записывается вертикально:

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c} \vdots \\ | \\ K_i \\ | \\ \vdots \\ | \\ K_1 \\ | \\K \end{array} }[/math]

Например, [math]\displaystyle{ \Q \subset \R \subset \Complex }[/math] — конечная башня расширений поля рациональных чисел, последовательно включающая поля вещественных и комплексных чисел.

Нормальная башня полей — последовательность нормальных расширений, сепарабельная башня полей — последовательность сепарабельных расширений, абелева башня полей — последовательность абелевых расширений.

Классическая задача разрешимости в радикалах многочленов, решённая средствами теории Галуа, может быть сформулирована в терминах башен полей: разрешимость эквивалентна погружаемости поля коэффициентов данного многочлена в нормальную и абелеву башню полей.

Башня полей классов — башня полей, построенная над некоторым полем алгебраических чисел, каждый элемент которой является максимальным абелевым неразветвлённым расширением предыдущего. Один из результатов теории полей классов, влекущий важные следствия для алгебраической теории чисел — отрицательное решение неограниченной проблемы Бёрнсайда (теорема Голода — Шафаревича), на языке полей классов формулируется следующим образом: существуют бесконечные башни классов полей (в частности, такова башня, построенная над расширением поля рациональных чисел, полученного присоединением числа [math]\displaystyle{ \sqrt{30030} }[/math]).

Литература

• И. М. Виноградов. Башня полей // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.