Аксиоматика Александрова

Аксиоматика Александрова — система аксиом Евклидовой геометрии, предложенная Александром Даниловичем Александровым. Эта аксиоматика частично использовалась в учебнике по геометрии написанного Александровым совместно с Алексеем Леонидовичем Вернером и Валерием Идельевичем Рыжиком.

Аксиомы

Основные объекты

точки; обозначаются, обычно: A, B, и т. п.
отрезки; обозначаются, обычно: a, b, и т. п.

Основные отношения

Точка служит концом отрезка;
Точка лежит на отрезке (или, как ещё говорят, лежит внутри отрезка);
Два отрезка равны друг другу (или, что равносильно, один отрезок равен другому).
Отрезок [math]\displaystyle{ a }[/math] содержится в отрезке [math]\displaystyle{ b }[/math] (в записи: [math]\displaystyle{ a\subset b }[/math]), если все его точки являются также точками отрезка [math]\displaystyle{ b }[/math].
Отрезки [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] образуют отрезок c (в записи: [math]\displaystyle{ a \cup b = c }[/math]), если они содержатся в [math]\displaystyle{ c }[/math] и у [math]\displaystyle{ c }[/math] нет точек, не принадлежащих им.
Отрезок [math]\displaystyle{ a }[/math] отложен вдоль отрезка [math]\displaystyle{ b }[/math] от его конца [math]\displaystyle{ A }[/math], если у этих отрезков есть общий конец [math]\displaystyle{ A }[/math] и один содержится в другом.
Два отрезка пересекаются, если на них есть единственная общая точка.

Линейные аксиомы

Аксиомы связи

(аксиома существования). Существует хотя бы один отрезок; у каждого отрезка есть два и только два конца; кроме того отрезок содержит другие точки: точки, лежащие на отрезке.
(аксиома проведения отрезка). Любые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.
(аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, т. е. если С на АВ, то отрезки АС, ВС образуют вместе отрезок АВ и не имеют общих точек кроме С.
(аксиома соединения отрезков). Если точка С лежит на отрезке АВ, а В на CD, то отрезки АВ,CD образуют отрезок AD.

Аксиомы равенства

(аксиома откладывания отрезка). При любых двух отрезках АВ, MN существует и притом единственный отрезок АС, равный MN и налегающий на АВ.
(аксиома сравнения). Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.
(аксиома сложения). Если С на АВ, С' на A'B' и АС = А'С' и ВС = В'С' то AB = A'B'.
(аксиома Архимеда). При любых данных отрезках a, b = АВ существует содержащий АВ отрезок [math]\displaystyle{ AA_n }[/math], на котором есть такие точки [math]\displaystyle{ A_1,\dots,A_n }[/math], что
[math]\displaystyle{ AA_1=A_1A_2 =\dots = A_{n-1}A_n=a }[/math].

Аксиома непрерывности

Если имеется бесконечная последовательность вложенных отрезков, т. е. если [math]\displaystyle{ a_1\supset a_2\supset\dots }[/math] то существует точка, общая всем этим отрезкам.

Плоскостные аксиомы

Точки CD лежат с одной стороны от а, если отрезок CD не пересекает никакого отрезка, содержащего а.

Точки А, В лежат с разных сторон от а, если напротив, отрезок АВ пересекает какой-либо отрезок, содержащий а.

(аксиома деления плоскости). По отношению к каждому данному отрезку а все точки, не лежащие ни на каком отрезке, содержащем а, делятся на два класса — в один класс входят точки, лежащие с одной стороны от а, а в другой точки, лежащие с другой стороны от а, причем в каждом классе есть точки.

Угол — это пара отрезков с общим концом, эти отрезки — стороны угла, их общий конец — вершина угла. Если при этом каждый из отрезков лежит целиком с одной стороны от другого, т.е. все его точки, кроме общего конца, лежат с одной стороны то угол, образованный отрезками, называется настоящим.

Поперечиной угла мы называем отрезок с концами на сторонах угла. Поперечины А В, А'В' углов О, O' соответственные, если ОА = O'A', OB = O'B'. Углы равны, если у них есть равные соответственные поперечины.

(аксиома откладывания угла). От каждого отрезка по данную сторону от него, от данного его конца можно отложить угол, равный данному (настоящему) углу. При этом можно пользоваться любой поперечиной и угол будет всегда один и тот же.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие образуют вместе один отрезок не налегая друг на друга.

Угол равный своему смежному, называется прямым.

(аксиома параллельных отрезков) Если отрезки AC, BD равны и идут в одну сторону от отрезка АВ под прямым углом, то CD = АВ.

Литература

Александров А. Д. Основания геометрии. — 1987.
Александров А. Д. Минимальные основания геометрии (рус.) // Сибирский математический журнал. — 1994. — Т. 35, № 6. — С. 1195–1209.
Вернер А. Л. А. Д. Александров и школьный курс геометрии (рус.) // Математические структуры и моделирование. — 2012. — № 25. — С. 18–38.