Аксиоматика Александрова

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Аксиоматика Александрова — система аксиом Евклидовой геометрии, предложенная Александром Даниловичем Александровым. Эта аксиоматика частично использовалась в учебнике по геометрии написанного Александровым совместно с Алексеем Леонидовичем Вернером и Валерием Идельевичем Рыжиком.

Аксиомы

Основные объекты

  • точки; обозначаются, обычно: A, B, и т. п.
  • отрезки; обозначаются, обычно: a, b, и т. п.

Основные отношения

  • Точка служит концом отрезка;
  • Точка лежит на отрезке (или, как ещё говорят, лежит внутри отрезка);
  • Два отрезка равны друг другу (или, что равносильно, один отрезок равен другому).
  • Отрезок [math]\displaystyle{ a }[/math] содержится в отрезке [math]\displaystyle{ b }[/math] (в записи: [math]\displaystyle{ a\subset b }[/math]), если все его точки являются также точками отрезка [math]\displaystyle{ b }[/math].
  • Отрезки [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] образуют отрезок c (в записи: [math]\displaystyle{ a \cup b = c }[/math]), если они содержатся в [math]\displaystyle{ c }[/math] и у [math]\displaystyle{ c }[/math] нет точек, не принадлежащих им.
  • Отрезок [math]\displaystyle{ a }[/math] отложен вдоль отрезка [math]\displaystyle{ b }[/math] от его конца [math]\displaystyle{ A }[/math], если у этих отрезков есть общий конец [math]\displaystyle{ A }[/math] и один содержится в другом.
  • Два отрезка пересекаются, если на них есть единственная общая точка.

Линейные аксиомы

Аксиомы связи

  • (аксиома существования). Существует хотя бы один отрезок; у каждого отрезка есть два и только два конца; кроме того отрезок содержит другие точки: точки, лежащие на отрезке.
  • (аксиома проведения отрезка). Любые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.
  • (аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, т. е. если С на АВ, то отрезки АС, ВС образуют вместе отрезок АВ и не имеют общих точек кроме С.
  • (аксиома соединения отрезков). Если точка С лежит на отрезке АВ, а В на CD, то отрезки АВ,CD образуют отрезок AD.

Аксиомы равенства

  • (аксиома откладывания отрезка). При любых двух отрезках АВ, MN существует и притом единственный отрезок АС, равный MN и налегающий на АВ.
  • (аксиома сравнения). Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.
  • (аксиома сложения). Если С на АВ, С' на A'B' и АС = А'С' и ВС = В'С' то AB = A'B'.
  • (аксиома Архимеда). При любых данных отрезках a, b = АВ существует содержащий АВ отрезок [math]\displaystyle{ AA_n }[/math], на котором есть такие точки [math]\displaystyle{ A_1,\dots,A_n }[/math], что
    [math]\displaystyle{ AA_1=A_1A_2 =\dots = A_{n-1}A_n=a }[/math].

Аксиома непрерывности

  • Если имеется бесконечная последовательность вложенных отрезков, т. е. если [math]\displaystyle{ a_1\supset a_2\supset\dots }[/math] то существует точка, общая всем этим отрезкам.

Плоскостные аксиомы

Точки CD лежат с одной стороны от а, если отрезок CD не пересекает никакого отрезка, содержащего а.

Точки А, В лежат с разных сторон от а, если напротив, отрезок АВ пересекает какой-либо отрезок, содержащий а.

  • (аксиома деления плоскости). По отношению к каждому данному отрезку а все точки, не лежащие ни на каком отрезке, содержащем а, делятся на два класса — в один класс входят точки, лежащие с одной стороны от а, а в другой точки, лежащие с другой стороны от а, причем в каждом классе есть точки.

Угол — это пара отрезков с общим концом, эти отрезки — стороны угла, их общий конец — вершина угла. Если при этом каждый из отрезков лежит целиком с одной стороны от другого, т.е. все его точки, кроме общего конца, лежат с одной стороны то угол, образованный отрезками, называется настоящим.

Поперечиной угла мы называем отрезок с концами на сторонах угла. Поперечины А В, А'В' углов О, O' соответственные, если ОА = O'A', OB = O'B'. Углы равны, если у них есть равные соответственные поперечины.

  • (аксиома откладывания угла). От каждого отрезка по данную сторону от него, от данного его конца можно отложить угол, равный данному (настоящему) углу. При этом можно пользоваться любой поперечиной и угол будет всегда один и тот же.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие образуют вместе один отрезок не налегая друг на друга.

Угол равный своему смежному, называется прямым.

  • (аксиома параллельных отрезков) Если отрезки AC, BD равны и идут в одну сторону от отрезка АВ под прямым углом, то CD = АВ.

Литература