Импликация
Шаблон:Булева функция Имплика́ция (от лат. implicatio «связь; сплетение») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».
Импликация записывается как посылка [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.
Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами[1][2]:
- посылка является условием, достаточным для выполнения следствия:
- следствие является условием, необходимым для истинности посылки.
Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы[3].
При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением[4].
Булева логика
В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества [math]\displaystyle{ \{0, 1\} }[/math]. Результат также принадлежит множеству [math]\displaystyle{ \{0, 1\} }[/math]. Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений [math]\displaystyle{ 0, 1 }[/math] может использоваться любая другая пара подходящих символов, например [math]\displaystyle{ \operatorname{false}, \operatorname{true} }[/math] или [math]\displaystyle{ F, T }[/math] или «ложь», «истина».
Правило:
- Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция [math]\displaystyle{ A \to B }[/math] — это сокращённая запись выражения [math]\displaystyle{ \neg A \lor B }[/math].
Таблицы истинности:
прямая импликация (от a к b, [math]\displaystyle{ \neg A \lor B }[/math]) (материальная импликация , материальный кондиционал )
[math]\displaystyle{ a }[/math] [math]\displaystyle{ b }[/math] [math]\displaystyle{ a \to b, a \leqslant b }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math]
- если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
- если [math]\displaystyle{ a \leqslant b }[/math], то истинно (1).
«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:
- А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).
- В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).
В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.
обратная импликация (от b к a, [math]\displaystyle{ A \lor (\neg B) }[/math])
[math]\displaystyle{ a }[/math] [math]\displaystyle{ b }[/math] [math]\displaystyle{ a \leftarrow b, a \geqslant b }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math]
- если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
- если [math]\displaystyle{ a\geqslant b }[/math], то истинно (1).
Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).
отрицание (инверсия, негация) прямой импликации ([math]\displaystyle{ A \land (\neg B) }[/math])
[math]\displaystyle{ a }[/math] [math]\displaystyle{ b }[/math] [math]\displaystyle{ \lnot(a \to b), a \gt b }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
- если первый операнд больше второго операнда, то 1,
- если [math]\displaystyle{ a \gt b }[/math], то истинно (1).
отрицание (инверсия, негация) обратной импликации ([math]\displaystyle{ \lnot A \land B }[/math]), разряд займа в двоичном полувычитателе.
[math]\displaystyle{ a }[/math] [math]\displaystyle{ b }[/math] [math]\displaystyle{ \lnot(a \leftarrow b), a \lt b }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
- если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
- если [math]\displaystyle{ a \lt b }[/math], то истинно (1).
Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.
Синонимические импликации выражения в русском языке
- Если А, то Б
- Б в том случае, если А
- При А будет Б
- Из А следует Б
- В случае А произойдёт Б
- Б, так как А
- Б, потому что А
- А — достаточное условие для Б
- Б — необходимое условие для А
Многозначная логика
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Теория множеств
Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math], и ей соответствует вложение множеств: пусть [math]\displaystyle{ A \subset B }[/math], тогда
- [math]\displaystyle{ x \in A \Rightarrow x \in B. }[/math]
Например, если [math]\displaystyle{ A }[/math] — множество всех квадратов, а [math]\displaystyle{ B }[/math] — множество прямоугольников, то, конечно, [math]\displaystyle{ A \subset B }[/math] и
- (a — квадрат) [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math] (a — прямоугольник).
(если a является квадратом, то a является прямоугольником).
Классическая логика
В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.
Можно доказать эквивалентность импликации [math]\displaystyle{ A \rightarrow B }[/math] формуле [math]\displaystyle{ \neg A \lor B }[/math] (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле [math]\displaystyle{ \neg (A \land \neg B) }[/math], которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.
Этот раздел не завершён. |
Интуиционистская логика
В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде [math]\displaystyle{ A \rightarrow \nvDash }[/math], где [math]\displaystyle{ \nvDash }[/math] — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.
В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.
Логика силлогизмов
В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».
Лингвистика
В лингвистике под импликацией (от implicāre «вплетать, впутывать») понимается использование в предложении неявных (имплицитных) словесных выражений, в том числе недосказанность в виде упущения одного или нескольких существительных в определительной цепочке. Так, например, А.Д. Швейцер и Б.Н. Климзо в своих трудах для переводчиков с английского языка и на английский выделяют 7 типов импликаций, которые надо учитывать: первые должны устранять в своих переводах импликации, неприемлемые в русском языке, а вторым полезно использовать английские импликации с целью компрессии текста.
См. также
Примечания
- ↑ Эдельман, 1975, с. 30.
- ↑ Гиндикин, 1972, с. 21.
- ↑ Эдельман, 1975, с. 16.
- ↑ Гиндикин, 1972, с. 18.
Литература
- Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
- Игошин В. И. Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
- Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
- Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. С.49-53.
- Климзо Б.Н. Ремесло технического переводчика. — М.: «Р.Валент», 2003. — 288 с. С.75-84.
- Швейцер А.Д. Перевод и лингвистика. — М.: «Воениздат», 1973.
Ссылки
- Импликация и эквивалентность
- Импликация в учебнике MathIt
В данной статье есть список источников, но не хватает сносок. |