Алгебра множеств

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества [math]\displaystyle{ X }[/math], замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

Определение

Семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} \subset 2^{X} }[/math] подмножеств множества [math]\displaystyle{ X }[/math] (здесь [math]\displaystyle{ 2^{X} }[/math] — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

[math]\displaystyle{ \varnothing\in \mathfrak{A}. }[/math]
Если множество [math]\displaystyle{ A\in \mathfrak{A} }[/math], то и его дополнение [math]\displaystyle{ X\setminus A\in\mathfrak{A}. }[/math]
Объединение двух множеств [math]\displaystyle{ A,B\in \mathfrak{A} }[/math] также принадлежит [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}. }[/math]

Замечания

По определению, если алгебра содержит множество [math]\displaystyle{ A }[/math], то она содержит и его дополнение. Объединением [math]\displaystyle{ A }[/math] с его дополнением является исходное множество [math]\displaystyle{ X }[/math]. Дополнением к множеству [math]\displaystyle{ X }[/math] является пустое множество. Это означает, что множество [math]\displaystyle{ X }[/math] и пустое множество содержится в алгебре по определению.
В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
Если исходное множество [math]\displaystyle{ X }[/math] является пространством элементарных событий, то алгебра [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событий

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств, алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со счётным количеством множеств, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

алгебра конечных подмножеств [math]\displaystyle{ \Omega }[/math];
сигма-алгебра счётных подмножеств [math]\displaystyle{ \Omega }[/math];
алгебра подмножеств [math]\displaystyle{ {\mathbb{R}}^n }[/math], образованная конечными объединениями интервалов;
сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [math]\displaystyle{ \Omega }[/math];
алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Событие [math]\displaystyle{ A + B }[/math] или [math]\displaystyle{ A \cup B }[/math], заключающееся в том, что из двух событий [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] происходит по крайней мере одно, называется суммой событий [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math].

Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности [math]\displaystyle{ \mathbb{P} }[/math], то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(\Omega) = 1 }[/math].

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. также

Литература

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.