Перейти к содержанию

Случайное событие

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Событие (теория вероятностей)»)

Случа́йное собы́тие — подмножество [math]\displaystyle{ A }[/math] множества исходов случайного эксперимента [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]. Элементарное событие это подмножество множества исходов, состоящее из одного элемента - [math]\displaystyle{ \{\omega\} }[/math].

При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]. Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом [math]\displaystyle{ \Omega }[/math].

Определение

Математически случайное событие — подмножество пространства элементарных исходов случайного эксперимента; элемент алгебры или сигма-алгебры событий [math]\displaystyle{ \mathcal{F} }[/math], которая в свою очередь задаётся аксиоматически и вместе с пространством элементарных событий [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] и вероятностью [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math] образует вероятностное пространство [math]\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) }[/math].

[math]\displaystyle{ A = \bigcup_k \omega_k }[/math]

что означает, любое событие [math]\displaystyle{ A }[/math] является суммой некоторого количества ([math]\displaystyle{ k }[/math]) элементарных событий [math]\displaystyle{ \omega }[/math].

Свойства случайных событий

  • Пространство выборок, то есть набор всех возможных результатов вероятностного эксперимента является событием.
  • Невозможное событие [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] является событием. Невозможное событие это событие, что никакое событие не относящееся к пространству элементарных событий не может произойти. Поэтому невозможное событие является пустым множеством. Любое событие пространства элементарных событий включает в себя невозможное событие, то есть любое событие пространства элементарных событий предполагает, что событие не относящееся к пространству элементарных событий не произошло. [math]\displaystyle{ \varnothing \subset A }[/math]
  • Дополнением события [math]\displaystyle{ A }[/math] является событие, при котором событие [math]\displaystyle{ A }[/math] не произошло. Дополнение события обозначается [math]\displaystyle{ \overline{A} }[/math] или [math]\displaystyle{ A^c }[/math]. Если [math]\displaystyle{ A }[/math] является событием, то и его дополнение [math]\displaystyle{ \overline{A} }[/math] тоже является событием.
  • Объединение или сумма нескольких событий [math]\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^n A_i }[/math] это событие, при котором по крайней мере одно из событий [math]\displaystyle{ A_i }[/math] произойдет.
  • Если [math]\displaystyle{ A_1 A_2 A_3... }[/math] счетное множество событий, то [math]\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{\infin} A_i }[/math] также является событием. Объединение конечного множества событий также является событием.
  • Пересечением событий [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] (обозначается [math]\displaystyle{ A \cap B }[/math]) является событие при котором, и событие [math]\displaystyle{ A }[/math], и событие [math]\displaystyle{ B }[/math], оба произошли.
  • События [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] являются несовместными если невозможно чтобы произошло и то и другое.

Пример

Случайный эксперимент состоит в бросании игральной кости: пример случайного события — выпавшее число чётно; события «Выпала единица», «Выпала двойка» и т. д. — элементарные исходы эксперимента; совокупность всех событий «Выпала 1»..«Выпала 6» — полная группа событий.

См. также

Ссылки