Разность множеств

Не следует путать с Симметрической разностью.

Ра́зность двух мно́жеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] обозначается как [math]\displaystyle{ A\setminus B }[/math], но иногда можно встретить обозначение [math]\displaystyle{ A-B }[/math] и [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math].

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

[math]\displaystyle{ A\setminus B=\{x\in A\mid x\not\in B\}. }[/math]

Это множество часто называют дополнением множества [math]\displaystyle{ B }[/math] до множества [math]\displaystyle{ A }[/math]. (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, [math]\displaystyle{ X }[/math]. Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством [math]\displaystyle{ A\subset X }[/math] и его относительное дополнение [math]\displaystyle{ X\setminus A }[/math], при обозначении которого часто опускается значок универсума: [math]\displaystyle{ \setminus A }[/math]; при этом говорится, что [math]\displaystyle{ \setminus A }[/math] — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что [math]\displaystyle{ A\setminus B=A\cap(\setminus B) }[/math], то есть дополнение множества [math]\displaystyle{ B }[/math] до множества [math]\displaystyle{ A }[/math] есть пересечение множества [math]\displaystyle{ A }[/math] и дополнения множества [math]\displaystyle{ B }[/math].

Также применяется и операторная запись вида [math]\displaystyle{ A^\complement }[/math], [math]\displaystyle{ \complement_{X}A }[/math] или (если опустить универсальное множество) [math]\displaystyle{ \complement A }[/math], [math]\displaystyle{ \overline A }[/math], [math]\displaystyle{ A' }[/math].

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению ко входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

Примеры

• Пусть [math]\displaystyle{ A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ A\setminus B=\{1,\;2\},\;B\setminus A=\{5,\;6,\;7\}. }[/math]
• Пусть [math]\displaystyle{ \R }[/math] — множество всех вещественных чисел, [math]\displaystyle{ \Q }[/math] — множество рациональных чисел, а [math]\displaystyle{ \Z }[/math] — множество целых чисел. Тогда [math]\displaystyle{ \R\setminus\Q }[/math] — множество всех иррациональных чисел, а [math]\displaystyle{ \Q\setminus\Z }[/math] — дробных.

Свойства

Пусть [math]\displaystyle{ A,\;B,\;C,\;D }[/math] — произвольные множества.

• Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:

[math]\displaystyle{ A\setminus A=\varnothing. }[/math]

• Свойства пустого множества относительно разности:

[math]\displaystyle{ \varnothing\setminus A=\varnothing; }[/math]

[math]\displaystyle{ A\setminus\varnothing=A. }[/math]

• Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:

[math]\displaystyle{ A\setminus B\subset A. }[/math]

• [math]\displaystyle{ A\cup(B\setminus A)=A\cup B }[/math]. Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
• [math]\displaystyle{ A\setminus B=A\setminus(A\cap B). }[/math]
• Разность не пересекается с вычитаемым:

[math]\displaystyle{ A\cap(B\setminus A)=\varnothing. }[/math]

• Разность множеств равна пустому множеству тогда и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:

[math]\displaystyle{ A\setminus B=\varnothing\Leftrightarrow A\subset B. }[/math]

• Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:

[math]\displaystyle{ A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C); }[/math]

[math]\displaystyle{ A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C). }[/math]

• [math]\displaystyle{ (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C); }[/math]
• [math]\displaystyle{ A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C); }[/math]
• [math]\displaystyle{ A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C; }[/math]
• [math]\displaystyle{ (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap(C\setminus A); }[/math]
• [math]\displaystyle{ (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A }[/math], если [math]\displaystyle{ C\cap A=\varnothing }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ A\subset B }[/math] и [math]\displaystyle{ C\subset D }[/math], то [math]\displaystyle{ (A\setminus D)\subset(B\setminus C); }[/math]
• Если [math]\displaystyle{ A\subset B }[/math], то для любого [math]\displaystyle{ C }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ (C\setminus B)\subset(C\setminus A) }[/math]. Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если [math]\displaystyle{ a\leqslant b }[/math], то для любого [math]\displaystyle{ c }[/math] справедливо [math]\displaystyle{ (c-b)\leqslant(c-a) }[/math].

Компьютерные реализации

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «−», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

В языке программирования Python операция реализована с помощью метода diff над объектом типа set.

Дополнение множества

Определение

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума [math]\displaystyle{ X }[/math], то определяется операция дополнения:

[math]\displaystyle{ A^\complement=X\setminus A\equiv\{x\in X\mid x\not\in A\}. }[/math]

Свойства

• Операция дополнения является унарной операцией на булеане [math]\displaystyle{ 2^X }[/math].
• Законы дополнения:

• [math]\displaystyle{ A\cup A^\complement=X; }[/math]
• [math]\displaystyle{ A\cap A^\complement=\varnothing. }[/math]

В частности, если оба [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ A^\complement }[/math] непусты, то [math]\displaystyle{ \{A,\;A^\complement\} }[/math] является разбиением [math]\displaystyle{ X }[/math].

• [math]\displaystyle{ X^\complement=\varnothing; }[/math]
• [math]\displaystyle{ \varnothing^\complement=X; }[/math]
• [math]\displaystyle{ (A\subset B)\Leftrightarrow(B^\complement\subset A^\complement). }[/math]

• Операция дополнения является инволюцией:

[math]\displaystyle{ (A^\complement)^\complement=A. }[/math]

• Законы де Моргана:

• [math]\displaystyle{ (A\cup B)^\complement=A^\complement\cap B^\complement; }[/math]
• [math]\displaystyle{ (A\cap B)^\complement=A^\complement\cup B^\complement. }[/math]

• Законы разности множеств:

• [math]\displaystyle{ A\setminus B=A\cap B^\complement; }[/math]
• [math]\displaystyle{ (A\setminus B)^\complement=A^\complement\cup B. }[/math]

Кодировка

Графема	Название	Юникод	HTML	LaTeX
∁	COMPLEMENT	U+2201	∁	\complement

См. также

• Операции над множествами

Литература

• Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Пер. с англ. М. И. Кратко, под ред. А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 16, 20—22.