Кольцо множеств

Кольцо множеств — непустая система множеств [math]\displaystyle{ R }[/math], замкнутая относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] из кольца элементы [math]\displaystyle{ A \cap B }[/math] и [math]\displaystyle{ A \triangle B }[/math] тоже будут лежать в кольце.

С точки зрения общей алгебры кольцо множеств — ассоциативное коммутативное кольцо с операцией симметрической разности в роли сложения и пересечения в роли умножения. В роли нейтрального элемента по сложению выступает, очевидно, пустое множество. Нейтрального элемента по умножению в кольце множеств может и не быть. Например, не имеет нейтрального элемента по умножению кольцо всех ограниченных подмножеств числовой прямой.

Некоторые свойства:

• пустое множество принадлежит любому кольцу (так как [math]\displaystyle{ \varnothing = A \triangle A }[/math]);
• объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как [math]\displaystyle{ A \cup B = (A \triangle B) \triangle (A \cap B) }[/math];
• разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как [math]\displaystyle{ A \backslash B = A \triangle (A \cap B) }[/math].

См. также

Алгебра множеств