Двойственная категория

Двойственная категория (дуальная категория) — категория, построенная из заданной согласно теоретико-категорному принципу двойственности, то есть, для категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] двойственной является категория [math]\displaystyle{ \mathcal C^{op} }[/math] с теми же объектами, что и [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math] и с множествами морфизмов [math]\displaystyle{ \text{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(A,B) = \text{Hom}_{\mathcal{C}}(B,A) }[/math] («обращение стрелок»). Композиция морфизмов в [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] в категории [math]\displaystyle{ \mathcal C^{op} }[/math] определяется как композиция [math]\displaystyle{ g }[/math] и [math]\displaystyle{ f }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]. Понятия и утверждения, относящиеся к категории [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math], заменяются двойственными понятиями и утверждениями в [math]\displaystyle{ \mathcal C^{op} }[/math]. Применение двойственности дважды переводит категорию в себя.

Примеры

• Категория булевых алгебр эквивалентна двойственной категории пространств Стоуна и непрерывных функций.
• Категория аффинных схем эквивалентна двойственной категории коммутативных колец.
• Двойственность Понтрягина можно ограничить на эквивалентность категории компактных хаусдорфовых абелевых топологических групп и двойственной категории (дискретных) абелевых групп.
• Согласно теореме Гельфанда — Ноймарка категория локально измеримых пространств (и измеримых функций) эквивалентна двойственной категории коммутативных алгебр фон Неймана.

Свойства

• [math]\displaystyle{ (\mathcal C \times \mathcal D)^{op} \cong \mathcal C^{op}\times \mathcal D^{op} }[/math] (см. категория произведения)
• [math]\displaystyle{ (Funct(\mathcal C, \mathcal D))^{op} \cong Funct(\mathcal C^{op}, \mathcal D^{op}) }[/math] (см. категория функторов)
• [math]\displaystyle{ (F\downarrow G)^{op} \cong (G^{op}\downarrow F^{op}) }[/math] (см. категория запятой)

Литература

• Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.