Ядро Пуассона

Ядро Пуассона — ядро, используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле в единичном круге. Ядро можно представить как производную функции Грина для уравнения Лапласа. Ядро названо в честь С. Пуассона.

Ядро Пуассона играет важную роль в комплексном анализе, поскольку интеграл от ядра Пуассона — интеграл Пуассона — расширяет функцию, определённую на единичной окружности, до гармонической функции, определённой на единичном круге. По определению гармонические функции являются решениями уравнения Лапласа, и — в двумерном случае — эквивалентны мероморфным функциям. Таким образом, двумерная задача Дирихле, по сути, аналогична задаче о нахождении мероморфного продолжения функции, заданной на границе области. Также можно расширить определения ядра Пуассона на n-мерный случай.

Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и в электростатике.

Ядро Пуассона в двумерном случае

На комплексной плоскости ядро Пуассона [math]\displaystyle{ P_r(\theta) }[/math] задаётся формулой

[math]\displaystyle{ P_r(\theta) = \sum_{n=-\infty}^\infty r^{|n|}e^{in\theta} = \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} = \operatorname{Re} \left (\frac {1+re^{i\theta}} {1-re^{i\theta}} \right), \ \ \ 0 \le r \lt 1. }[/math]

Эту формулу можно рассматривать с двух сторон: как функцию [math]\displaystyle{ r(\Theta) }[/math] или как семейство функций [math]\displaystyle{ \Theta_r }[/math] при [math]\displaystyle{ 0 \le r \lt 1. }[/math]

Если область [math]\displaystyle{ D }[/math] такова, что [math]\displaystyle{ D = \{z:|z|\lt 1\} }[/math] — единичный круг в комплексном Лебеговом пространстве и если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] задана в области [math]\displaystyle{ D }[/math], то функция

[math]\displaystyle{ u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi P_r(\theta-t)f(e^{it}) \, \mathrm{d}t, \ \ \ 0 \le r \lt 1 }[/math]

является гармонической функцией в области [math]\displaystyle{ D. }[/math]

Так как граничные условия функции [math]\displaystyle{ u }[/math] совпадают с граничными условиями функции [math]\displaystyle{ f }[/math], то при [math]\displaystyle{ r \rightarrow 1 \ \ P_r(\theta) }[/math] задаёт свёртку в пространстве [math]\displaystyle{ L^p(T). }[/math]

Свёртки с таким приближением показывают пример суммирования ядра для рядов Фурье в пространстве [math]\displaystyle{ L^1. }[/math] Пусть функция [math]\displaystyle{ f \in L^1(T) }[/math] имеет ряд Фурье [math]\displaystyle{ \{f_k\}. }[/math] После преобразований Фурье свёртка [math]\displaystyle{ P_r(\theta) }[/math] умножается на ряд [math]\displaystyle{ \{r^k\} \in L^1(Z). }[/math]

Литература

• Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3 .
• Axler, S.; Bourdon, P. & Ramey, W. (1992), Harmonic Function Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7 .
• King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. I, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5 .
• Stein, Elias & Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
• Weisstein, Eric W. Poisson Kernel (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gilbarg, D. & Trudinger, N., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7 .