Уравнения Дена — Соммервиля
Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника. Эти уравнения можно переписать для симплициальных многогранников поскольку последние двойственны к простым многогранникам.
Формулировка
Для данного простого [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного многогранника [math]\displaystyle{ P }[/math] обозначим через [math]\displaystyle{ f_k }[/math] количество граней [math]\displaystyle{ P }[/math] размерности [math]\displaystyle{ k }[/math]; в частности, [math]\displaystyle{ f_n=1 }[/math]. Рассмотрим формальную сумму
- [math]\displaystyle{ \sum_k f_k\cdot(t-1)^k=\sum_k h_k\cdot t^k }[/math]
где [math]\displaystyle{ h_k=\sum_{i\geqslant k}f_i(-1)^{i-k}\binom{i}{k} }[/math], то есть коэффициенты [math]\displaystyle{ h_k }[/math] возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.
Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид
- [math]\displaystyle{ h_k=h_{n-k} }[/math]
для каждого целого [math]\displaystyle{ k }[/math].
Связанные определения
- Последовательность [math]\displaystyle{ (f_0,f_1,\dots,f_n) }[/math] называется f-вектором многогранника.
- Последовательность [math]\displaystyle{ (h_0,h_1,\dots,h_n) }[/math] называется h-вектором многогранника.
- Если [math]\displaystyle{ \ell\colon\R^n \to\R }[/math] — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника [math]\displaystyle{ P }[/math] лежат на разных уровнях [math]\displaystyle{ \ell }[/math], тогда [math]\displaystyle{ h_k }[/math] равно числу вершин [math]\displaystyle{ P }[/math] индекса [math]\displaystyle{ k }[/math]; то есть ровно [math]\displaystyle{ k }[/math] рёбер из этой вершины идут вниз по [math]\displaystyle{ \ell }[/math]. Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой [math]\displaystyle{ \ell }[/math] на [math]\displaystyle{ -\ell }[/math].
- В дополнении получаем [math]\displaystyle{ h_k\geqslant 0 }[/math] для любого [math]\displaystyle{ k }[/math], это даёт нетривиальные неравенства на [math]\displaystyle{ f }[/math]-вектор.
- Если [math]\displaystyle{ \ell\colon\R^n \to\R }[/math] — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника [math]\displaystyle{ P }[/math] лежат на разных уровнях [math]\displaystyle{ \ell }[/math], тогда [math]\displaystyle{ h_k }[/math] равно числу вершин [math]\displaystyle{ P }[/math] индекса [math]\displaystyle{ k }[/math]; то есть ровно [math]\displaystyle{ k }[/math] рёбер из этой вершины идут вниз по [math]\displaystyle{ \ell }[/math]. Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой [math]\displaystyle{ \ell }[/math] на [math]\displaystyle{ -\ell }[/math].
История
В размерности 4 и 5 соотношения были описаны Максом Деном[1]. В общем случае уравнения были описаны Дунканом Сомервилем[англ.] в 1927.
Примечания
- ↑ M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561—586
Литература
- В. А. Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 5-94057-024-0.