Абсолютно чёрное тело
Абсолю́тно чёрное те́ло — теоретическая модель физического тела, которое при любой температуре поглощает всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах[1].
Таким образом, у абсолютно чёрного тела поглощательная способность (отношение поглощённой энергии к энергии падающего излучения) равна 1 для излучения всех частот, направлений распространения и поляризаций[2][3].
Несмотря на название, абсолютно чёрное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметь цвет. Спектр излучения абсолютно чёрного тела определяется только его температурой.
Важность абсолютно чёрного тела в теории теплового излучения обусловлена тем, что вопрос о спектре равновесного теплового излучения тел любого цвета и коэффициента отражения сводится методами классической термодинамики к вопросу об излучении абсолютно чёрного тела. К концу XIX века проблема излучения абсолютно чёрного тела вышла на первый план.
Спектральная плотность мощности излучения чёрного тела (мощность, излучаемая с поверхности единичной площади в единичном интервале частот в герцах) задаётся формулой Планка
- [math]\displaystyle{ R_{\nu}(\nu,\,T) = \frac{2 \pi h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{h \nu/ kT}-1} }[/math],
где [math]\displaystyle{ T }[/math] — температура, [math]\displaystyle{ h }[/math] — постоянная Планка, [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света, [math]\displaystyle{ k }[/math] — постоянная Больцмана, [math]\displaystyle{ \nu }[/math] — частота электромагнитного излучения.
Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно чёрного тела в наибольшей степени обладает Солнце. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на длину волны 450 нм, что соответствует температуре наружных слоёв Солнца около 6000 K (если рассматривать Солнце как абсолютно чёрное тело)[4].
Термин «абсолютно чёрное тело» был введён Густавом Кирхгофом в 1862 году.
Практическая модель абсолютно чёрного тела
Абсолютно чёрных тел в природе не существует (чёрная дыра поглощает всё падающее излучение, но её температуру невозможно контролировать), поэтому в физике для экспериментов используется модель. Она представляет собой непрозрачную замкнутую полость с небольшим отверстием, стенки которой имеют одинаковую температуру. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным[3]. Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение. Поскольку излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде чем выйдет (ведь отверстие очень мало), в подавляющей доле случаев претерпит огромное количество новых поглощений и излучений, то можно с уверенностью сказать, что излучение внутри полости находится в термодинамическом равновесии со стенками. (На самом деле, отверстие для этой модели вообще не важно, оно нужно только чтобы подчеркнуть принципиальную наблюдаемость излучения, находящегося внутри; отверстие можно, например, совсем закрыть, и быстро приоткрыть только тогда, когда равновесие уже установилось и проводится измерение).
Электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с абсолютно чёрным телом при данной температуре (например, излучение внутри полости в абсолютно чёрном теле), называется чернотельным (или тепловым равновесным) излучением. Равновесное тепловое излучение однородно, изотропно и неполяризовано, перенос энергии в нём отсутствует, все его характеристики зависят только от температуры абсолютно чёрного тела-излучателя (и, поскольку чернотельное излучение находится в тепловом равновесии с данным телом, эта температура может быть приписана излучению).
Примеры чёрных тел и чернотельного излучения
Близким к единице коэффициентом поглощения обладают сажа и платиновая чернь[3]. Сажа поглощает до 99 % падающего излучения (то есть имеет альбедо, равное 0,01) в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ею значительно хуже.
Наиболее чёрное из всех известных веществ — изобретённая в 2014 году субстанция Vantablack, состоящая из параллельно ориентированных углеродных нанотрубок, — поглощает 99,965 % падающего на него излучения в диапазонах видимого света, микроволн и радиоволн.
Очень близко по своим свойствам к чернотельному так называемое реликтовое излучение, или космический микроволновой фон — заполняющее Вселенную излучение с температурой около 3 K.
Чернотельным является излучение Хокинга (квантовомеханическое испарение чёрных дыр). Это излучение имеет температуру [math]\displaystyle{ T_\text{BH} = h c^3/(16\pi^2 kGM) }[/math], где [math]\displaystyle{ G }[/math] — гравитационная постоянная, а [math]\displaystyle{ M }[/math] — масса чёрной дыры.
Законы излучения абсолютно чёрного тела
Под законами излучения подразумеваются зависимости испускательной способности поверхности тела от частоты ([math]\displaystyle{ R_{\nu}(\nu) }[/math], Вт/м2/Гц) или длины волны ([math]\displaystyle{ R_{\lambda}(\lambda) }[/math], Вт/м2/м) излучения, а также утверждения, касающиеся особенностей таких зависимостей. Вместо испускательной способности может рассматриваться связанная с ней формулой [math]\displaystyle{ u = 4R/c\, }[/math] (где [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света) объёмная спектральная плотность излучения (Дж/м3/Гц для [math]\displaystyle{ u_{\nu}(\nu) }[/math] или Дж/м3/м для [math]\displaystyle{ u_{\lambda}(\lambda) }[/math]).
Изначально при поиске выражения для закона излучения чёрного тела были применены классические методы, которые дали ряд важных и верных результатов, но полностью решить проблему не позволили. В итоге анализ излучения абсолютно чёрного тела явился одной из предпосылок появления квантовой механики.
Классические законы
Закон Рэлея — Джинса
Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела на основе классических принципов термодинамики приводит к закону Рэлея — Джинса (k — постоянная Больцмана, [math]\displaystyle{ T }[/math] — температура):
- [math]\displaystyle{ u_{\nu} = \frac{8\pi\nu^2kT}{c^3} }[/math],
- [math]\displaystyle{ u_{\lambda} = \frac{8\pi kT}{\lambda^4} }[/math].
Формула соответствует эксперименту в длинноволновой области спектра.
Однако, эта формула предполагает неограниченное квадратичное возрастание спектральной плотности с частотой. На практике данный закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию коротковолнового излучения. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой.
Первый закон излучения Вина
В 1893 году Вильгельм Вин, воспользовавшись, помимо классической термодинамики, электромагнитной теорией света, вывел следующую формулу:
- [math]\displaystyle{ u_\nu = \nu^3 f\left(\frac{\nu}{T}\right) }[/math],
- [math]\displaystyle{ u_\lambda = \lambda^{-5} f\left(\frac{c}{\lambda T}\right) }[/math],
где f — функция, зависящая исключительно от отношения частоты к температуре. Установить её вид только из термодинамических соображений невозможно.
Первая формула Вина справедлива для всех частот.
Из неё выводится закон смещения Вина (закон максимума) в виде
- [math]\displaystyle{ \lambda_{max} \sim \frac{{\rm const}}{T} }[/math],
где [math]\displaystyle{ \lambda_{max} }[/math] отвечает максимуму функции [math]\displaystyle{ u_{\lambda}(\lambda) }[/math]. Также можно получить закон Стефана — Больцмана:
- [math]\displaystyle{ J = \frac{c}{4}\int u_{\nu}\,d\nu \sim {\rm const}\cdot T^4 }[/math],
где [math]\displaystyle{ J }[/math] — мощность излучения единицы поверхности тела. Константы могут быть оценены из эксперимента. Для теоретического же их определения требуются методы квантовой механики.
Второй закон излучения Вина
В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел второй закон:
- [math]\displaystyle{ u_\nu = C_1 \nu^3 e^{-C_2\frac{\nu}{T}} }[/math],
- [math]\displaystyle{ u_\lambda = C_1\,c^4\lambda^{-5} e^{-C_2\frac{c}{\lambda T}} }[/math],
где C1, C2 — константы. Опыт показывает, что вторая формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.
Как и в случае закона максимума, константы не могут быть определены только из классических моделей.
Квантовомеханические законы
Закон Планка
По современным представлениям, интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от частоты и температуры определяется законом Планка[5]:
- [math]\displaystyle{ u_{\nu} = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h \nu/ kT}-1},\qquad R_{\nu} = \frac{2 \pi h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{h \nu/ kT}-1} }[/math].
Здесь приведено выражение как для объёмной спектральной плотности энергии [math]\displaystyle{ u_{\nu} }[/math], так и для поверхностной спектральной плотности мощности излучения [math]\displaystyle{ R_{\nu} }[/math]. Это эквивалентно
- [math]\displaystyle{ u_{\lambda} = {8 \pi h {c}\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1},\qquad R_{\lambda} = {2 \pi h {c^2}\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1} }[/math],
где те же величины представлены как зависимости от длины волны.
Исходя из формулы Планка можно получить формулу Рэлея — Джинса при [math]\displaystyle{ h\nu / kT \ll 1 }[/math].
Также было показано, что второй закон Вина следует из закона Планка для больших энергий квантов — и были найдены входящие в закон Вина постоянные C1 и C2. В результате формула второго закона Вина обретает вид
- [math]\displaystyle{ u_\nu = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} e^{-\frac{h\nu}{kT}}\quad (h\nu / kT \gg 1) }[/math].
Во всех вышеприведённых выражениях через h обозначена постоянная Планка.
Закон смещения Вина
Длина волны, при которой спектральная плотность мощности излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина:
- [math]\displaystyle{ \lambda_\text{max} = \frac{0{,}002898}{T}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ T }[/math] — температура в кельвинах, а [math]\displaystyle{ \lambda_\text{max} }[/math] — длина волны, отвечающей максимуму [math]\displaystyle{ u_{\lambda} }[/math], в метрах. Числовой множитель получается из формулы Планка.
Если считать, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36 °C (309 K) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области).
Закон Стефана — Больцмана
Закон Стефана — Больцмана гласит, что полная мощность излучения (Вт/м2) абсолютно чёрного тела, то есть интеграл спектральной плотности мощности по всем частотам, приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела:
- [math]\displaystyle{ J = \int R_{\nu}(\nu, T)\,d\nu = \sigma T^4 }[/math],
где
- [math]\displaystyle{ \sigma = \frac{2 \pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} = \frac{\pi^2 k^4}{60\hbar^3 c^2} \approx 5{,}670400(40) \cdot 10^{-8} }[/math] Вт/(м2·К4) — постоянная Стефана — Больцмана.
Таким образом, абсолютно чёрное тело при [math]\displaystyle{ T }[/math] = 100 K излучает 5,67 ватта с квадратного метра поверхности. При 1000 K мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатта с квадратного метра.
Для нечёрных тел приближённо [math]\displaystyle{ J = \epsilon \sigma T^4 }[/math], где [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] — степень черноты. Для абсолютно чёрного тела [math]\displaystyle{ \epsilon = 1 }[/math], для других объектов в силу закона Кирхгофа степень черноты равна коэффициенту поглощения [math]\displaystyle{ \epsilon = \alpha = 1 - \rho - \tau }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — коэффициент поглощения, [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — коэффициент отражения, а [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — коэффициент пропускания. Поэтому для уменьшения лучистого теплопереноса поверхность окрашивают в белый цвет или наносят блестящее покрытие, а для увеличения — затемняют.
Цветность чернотельного излучения
Цветность чернотельного излучения, или, вернее, цветовой тон излучения абсолютно чёрного тела при его определённой температуре, приведена в таблице:
| Температурный интервал в кельвинах | Цвет |
|---|---|
| до 1000 | Красный |
| 1000—2000 | Оранжевый |
| 2000—3000 | Жёлтый |
| 3000—4500 | Бледно-жёлтый |
| 4500—5500 | Желтовато-белый |
| 5500—6500 | Чисто белый |
| 6500—8000 | Голубовато-белый |
| 8000—15000 | Бело-голубой |
| 15000 и более | Голубой |
Цвета даны в сравнении с рассеянным дневным светом (D65). Реально воспринимаемый цвет может быть искажён адаптацией глаза к условиям освещения. Видимый цвет чёрных тел с разной температурой также представлен на диаграмме в начале статьи.
Термодинамика чернотельного излучения
В термодинамике равновесное тепловое излучение рассматривают как фотонный газ, состоящий из электронейтральных безмассовых частиц, заполняющий полость объёмом V в абсолютно чёрном теле (см. раздел «Практическая модель»), с давлением P и температурой T, совпадающей с температурой стенок полости. Для фотонного газа справедливы следующие термодинамические соотношения[6][7][8][9]:
| [math]\displaystyle{ P = \frac{a}{3} T^4, }[/math] | (Термическое уравнение состояния) |
| [math]\displaystyle{ U = aVT^4, }[/math] | (Калорическое уравнение состояния для внутренней энергии) |
| [math]\displaystyle{ U = a V \left(\frac{3 S}{4 a V}\right)^{4/3}, }[/math] | (Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии) |
| [math]\displaystyle{ H = \left(\frac{3 P}{a}\right)^{1/4} S, }[/math] | (Каноническое уравнение состояния для энтальпии) |
| [math]\displaystyle{ F = -\frac{1}{3} a V T^4, }[/math] | (Каноническое уравнение состояния для потенциала Гельмгольца) |
| [math]\displaystyle{ G = 0, }[/math] | (Каноническое уравнение состояния для потенциала Гиббса) |
| [math]\displaystyle{ \Omega = -\frac{1}{3} \alpha V T^4, }[/math] | (Каноническое уравнение состояния для потенциала Ландау) |
| [math]\displaystyle{ \mu = 0, }[/math] | (Химический потенциал) |
| [math]\displaystyle{ S = \frac{4 a}{3} VT^3, }[/math] | (Энтропия) |
| [math]\displaystyle{ C_V = 4 a VT^3, }[/math] | (Теплоёмкость при постоянном объёме) |
| [math]\displaystyle{ C_P = \infty, }[/math] | (Теплоёмкость при постоянном давлении) |
| [math]\displaystyle{ \gamma = \infty, }[/math] | (Показатель адиабаты) |
| [math]\displaystyle{ S = \text{const},\quad VT^3 = \text{const},\quad PV^{4/3} = \text{const}. }[/math] | (Уравнения адиабаты) |
Для большей компактности в формулах использована радиационная постоянная a вместо постоянной Стефана — Больцмана σ:
| [math]\displaystyle{ a = \frac{4 \sigma}{c}, }[/math] | (Радиационная постоянная) |
где c — скорость света в вакууме.
Фотонный газ представляет собой систему с одной термодинамической степенью свободы[10].
Давление фотонного газа не зависит от объёма, поэтому для фотонного газа изотермический процесс (T = const) является одновременно и изобарным процессом (P = const). С повышением температуры давление фотонного газа растёт очень быстро, достигая 1 атмосферы уже при T = 1,4⋅105 K, а при температуре 107 K (температура центра Солнца) давление достигает значения 2,5⋅107 атм (2,5⋅1012 Па). Величина теплоёмкости излучения становится сравнимой с величиной теплоёмкости одноатомного идеального газа лишь при температурах порядка миллионов кельвинов.
Представление о температуре излучения было введено Б. Б. Голицыным (1893).
См. также
- Точка Дрейпера
- Фундаментальные физические постоянные
- Тепловое излучение
- Закон смещения Вина
- Vantablack
- Серое тело
Примечания
- ↑ Абсолютно чёрное тело // Большой энциклопедический политехнический словарь. — 2004.
- ↑ М. А. Ельяшевич. Абсолютно чёрное тело // Физическая энциклопедия. В 5 томах / Главный редактор А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 Абсолютно чёрное тело // Физический энциклопедический словарь / Главный редактор А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1983.
- ↑ Кочаров Г. Е. Солнце // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 594. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.
- ↑ Квантовая физика / МГТУ им. Н. Э. Баумана. Кафедра физики. fn.bmstu.ru. Дата обращения: 28 сентября 2015. Архивировано 28 сентября 2015 года.
- ↑ Гуггенгейм, Современная термодинамика, 1941, с. 164—167.
- ↑ Новиков И. И., Термодинамика, 1984, с. 465—467.
- ↑ Сычёв В. В., Сложные термодинамические системы, 2009.
- ↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 157, 177, 349.
- ↑ Алмалиев А. Н. и др., Термодинамика и статистическая физика, 2004, с. 59.
Литература
- Алмалиев А. Н., Копытин И. В., Корнев А. С., Чуракова Т. А. Термодинамика и статистическая физика: Статистика идеального газа. — Воронеж: Ворон. гос. ун-т, 2004. — 79 с.
- Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб. — М. — Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
- Гуггенгейм. Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса / Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева. — Л. — М.: Госхимиздат, 1941. — 188 с.
- Новиков И. И. Термодинамика. — М.: Машиностроение, 1984. — 592 с.
- Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М.: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.
- Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Квантовая теория // Физика в техническом университете, 5-й том. — МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Ссылки
- Спектр чёрного тела (flash-приложение)
- Keesey, Lori J. Blacker than black. NASA (12 декабря 2010).