Показатель адиабаты

Иное название этого понятия — «коэффициент Пуассона»; о параметре, характеризующем упругие свойства материала, см. Коэффициент Пуассона.

Показатель адиабаты (иногда называемый коэффициентом Пуассона) — отношение теплоёмкости при постоянном давлении ([math]\displaystyle{ C_P }[/math]) к теплоёмкости при постоянном объёме ([math]\displaystyle{ C_V }[/math]). Иногда его ещё называют фактором изоэнтропийного расширения. Обозначается греческой буквой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] (гамма) или [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] (каппа). Буквенный символ в основном используется в химических инженерных дисциплинах. В теплотехнике используется латинская буква [math]\displaystyle{ k }[/math].

Уравнение:

[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{c_P}{c_V}, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ C }[/math] — теплоёмкость газа,

[math]\displaystyle{ c }[/math] — удельная теплоёмкость (отношение теплоёмкости к единице массы) газа,

индексы [math]\displaystyle{ _P }[/math] и [math]\displaystyle{ _V }[/math] обозначают условие постоянства давления или постоянства объёма, соответственно.

Для показателя адиабаты справедлива теорема Реша (1854):

[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{\chi_t}{\chi_s} , }[/math]

где [math]\displaystyle{ \chi_t }[/math] и [math]\displaystyle{ \chi_s }[/math] — изотермический и адиабатический (изоэнтропический) коэффициенты всестороннего сжатия.

Для понимания этого соотношения можно рассмотреть следующий эксперимент. Закрытый цилиндр с закреплённым неподвижно поршнем содержит воздух. Давление внутри равно давлению снаружи. Этот цилиндр нагревается до определённой, требуемой температуры. До тех пор, пока поршень закреплён в неподвижном состоянии, объём воздуха в цилиндре остаётся неизменным, в то время как температура и давление возрастают. Когда требуемая температура будет достигнута, нагревание прекращается. В этот момент поршень «освобождается» и, благодаря этому, начинает перемещаться под давлением воздуха в цилиндре без теплообмена с окружающей средой (воздух расширяется адиабатически). Совершая работу, воздух внутри цилиндра охлаждается ниже достигнутой ранее температуры. Чтобы вернуть воздух к состоянию, когда его температура опять достигнет упомянутого выше требуемого значения (при всё ещё «освобождённом» поршне) воздух необходимо нагреть. Для этого нагревания извне необходимо подвести примерно на 40 % (для двухатомного газа — воздуха) большее количество теплоты, чем было подведено при предыдущем нагревании (с закреплённым поршнем). В этом примере количество теплоты, подведённое к цилиндру при закреплённом поршне, пропорционально [math]\displaystyle{ C_V }[/math], тогда как общее количество подведённой теплоты пропорционально [math]\displaystyle{ C_P }[/math]. Таким образом, показатель адиабаты в этом примере равен 1,4.

Другой путь для понимания разницы между [math]\displaystyle{ C_P }[/math] и [math]\displaystyle{ C_V }[/math] состоит в том, что [math]\displaystyle{ C_P }[/math] применяется тогда, когда работа совершается над системой, которую принуждают к изменению своего объёма (то есть путём движения поршня, который сжимает содержимое цилиндра), или если работа совершается системой с изменением её температуры (то есть нагреванием газа в цилиндре, что вынуждает поршень двигаться). [math]\displaystyle{ C_V }[/math] применяется только если [math]\displaystyle{ P dV }[/math] — а это выражение обозначает совершённую газом работу — равно нулю. Рассмотрим разницу между подведением тепла при закреплённом поршне и подведением тепла при освобождённом поршне. Во втором случае давление газа в цилиндре остаётся постоянным, и газ будет как расширяться, совершая работу над атмосферой, так и увеличивать свою внутреннюю энергию (с увеличением температуры); теплота, которая подводится извне, лишь частично идёт на изменение внутренней энергии газа, в то время как остальное тепло идёт на совершение газом работы.

показатели адиабаты для различных температур и газов
темп.	газ	[math]\displaystyle{ \gamma }[/math]		темп.	газ	[math]\displaystyle{ \gamma }[/math]		темп.	газ	[math]\displaystyle{ \gamma }[/math]
20 °C	He	1,660		20 °C	NO	1,400		20 °C	H2O	1,330
19 °C	Ne	1,640		−181 °C	O2	1,450		100 °C		1,324
−180 °C	Ar	1,760		−76 °C		1,415		200 °C		1,310
20 °C		1,670		20 °C		1,400		0 °C	сухой воздух	1,403
19 °C	Kr	1,680		100 °C		1,399		20 °C		1,400
19 °C	Xe	1,660		200 °C		1,397		100 °C		1,401
360 °C	Hg	1,670		400 °C		1,394		200 °C		1,398
−181 °C	H2	1,597		20 °C	CO	1,400		400 °C		1,393
−76 °C		1,453		20 °C	Cl2	1,340		1000 °C		1,365
20 °C		1,410		0 °C	CO2	1,310		2000 °C		1,088
100 °C		1,404		20 °C		1,300		15 °C	SO2	1,290
400 °C		1,387		100 °C		1,281		−115 °C	CH4	1,410
1000 °C		1,358		400 °C		1,235		−74 °C		1,350
2000 °C		1,318		1000 °C		1,195		20 °C		1,320
−181 °C	N2	1,470		15 °C	NH3	1,310		15 °C	C2H6	1,220
15 °C		1,404		20 °C	N2O	1,310		16 °C	C3H8	1,130

Соотношения для идеального газа

Для идеального газа теплоёмкость не зависит от температуры. Соответственно, можно выразить энтальпию как [math]\displaystyle{ H = C_P T }[/math] и внутренняя энергия может быть представлена как [math]\displaystyle{ U = C_V T }[/math]. Таким образом, можно также сказать, что показатель адиабаты — это отношение энтальпии к внутренней энергии:

[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{H}{U}. }[/math]

С другой стороны, теплоёмкости могут быть выражены также через показатель адиабаты ([math]\displaystyle{ \gamma }[/math]) и универсальную газовую постоянную ([math]\displaystyle{ R }[/math]):

[math]\displaystyle{ C_P = \nu \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \qquad }[/math] и [math]\displaystyle{ \qquad C_V = \nu \frac{R}{\gamma - 1}. }[/math]

Может оказаться достаточно трудным найти информацию о табличных значениях [math]\displaystyle{ C_V }[/math], в то время как табличные значения [math]\displaystyle{ C_P }[/math] приводятся чаще. В этом случае можно использовать следующую формулу для определения [math]\displaystyle{ C_V }[/math]:

[math]\displaystyle{ C_V = C_P - \nu R, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \nu }[/math] — количество вещества в молях. Для молярных теплоёмкостей, соответственно,

[math]\displaystyle{ C_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}, \qquad C_V = \frac{R}{\gamma - 1}=C_P - R. }[/math]

Соотношения с использованием количества степеней свободы

Показатель адиабаты ([math]\displaystyle{ \gamma }[/math]) для идеального газа может быть выражен через количество степеней свободы ([math]\displaystyle{ i }[/math]) молекул газа:

[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{i+2}{i}\qquad }[/math] или [math]\displaystyle{ \qquad i = \frac{2}{\gamma - 1}. }[/math]

Таким образом, для одноатомного идеального газа (три степени свободы) показатель адиабаты равен:

[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{5}{3} \approx 1{,}67, }[/math]

в то время как для двуатомного идеального газа (пять степеней свободы) (при комнатной температуре):

[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{7}{5} = 1{,}4. }[/math]

Для многоатомного идеального газа (шесть степеней свободы) показатель адиабаты равен:

[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{6+2}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33. }[/math]

Воздух на земле представляет собой в основном смесь двухатомных газов (около 78 % азота — N₂, и около 21 % кислорода — O₂), и при нормальных условиях его можно рассматривать как идеальный. Двухатомный газ имеет пять степеней свободы (три поступательных и две вращательных степени свободы; колебательная степень свободы не задействована, за исключением высоких температур). Как следствие, теоретически, показатель адиабаты для воздуха имеет величину:

[math]\displaystyle{ \gamma = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5} = 1{,}4. }[/math]

Это хорошо согласуется с экспериментальными измерениями показателя адиабаты воздуха, которые приблизительно дают значение 1,403 (приведённое выше в таблице).

Соотношения для реальных газов

По мере того, как температура возрастает, более высокоэнергетические вращательные и колебательные состояния становятся достижимыми для молекулярных газов, и таким образом, количество степеней свободы возрастает, и уменьшается показатель адиабаты [math]\displaystyle{ \gamma }[/math].

Для реальных газов, как [math]\displaystyle{ C_P }[/math], так и [math]\displaystyle{ C_V }[/math] возрастают с увеличением температуры, при этом разность между ними остаётся неизменной (согласно приведённой выше формуле [math]\displaystyle{ C_P }[/math] = [math]\displaystyle{ C_V + R }[/math]), и эта разность отражает постоянство величины [math]\displaystyle{ P V }[/math], то есть работы, совершаемой при расширении. Величина [math]\displaystyle{ P \cdot V }[/math] представляет собой разницу между количествами подведённой теплоты при постоянном давлении и при постоянном объёме. Следовательно, отношение двух величин, [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], возрастает при увеличении температуры. См. также удельная теплоёмкость.

Термодинамические выражения

Значения, полученные с помощью приближённых соотношений (в частности, [math]\displaystyle{ C_p - C_v = R }[/math]), во многих случаях являются недостаточно точными для практических инженерных расчётов, таких, как расчёты расходов через трубопроводы и клапаны. Предпочтительнее использовать экспериментальные значения, чем те, которые получены с помощью приближённых формул. Строгие значения соотношения [math]\displaystyle{ \frac{C_p}{C_v} }[/math] может быть вычислено путём определения [math]\displaystyle{ C_v }[/math] из свойств, выраженных как:

[math]\displaystyle{ C_p - C_v \ = \ -T \frac{{\left( {\frac{\partial V}{\partial T}} \right)_P^2 }} {\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T} \ = \ -T \frac{{ \left( {\frac{\partial P}{\partial T}} \right) }^2} {\frac{\partial P}{\partial V}}. }[/math]

Значения [math]\displaystyle{ C_p }[/math] не составляет труда измерить, в то время как значения для [math]\displaystyle{ C_v }[/math] необходимо определять из формул, подобных этой. См. здесь для получения более подробной информации о соотношениях между теплоёмкостями.

Вышеприведённые соотношения отражают подход, основанный на развитии строгих уравнений состояния (таких, как уравнение Пенга — Робинсона), которые настолько хорошо согласуются с экспериментом, что для их применения требуется лишь незначительно развивать базу данных соотношений или значений [math]\displaystyle{ C_v }[/math]. Значения могут быть также определены с помощью метода конечных разностей.

Адиабатический процесс

См. также: Политропный процесс

Для изоэнтропийного, квазистатического, обратимого адиабатного процесса, происходящего в простом сжимаемом идеальном газе:

[math]\displaystyle{ PV^\gamma = \text{constant}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ P }[/math] — это давление и [math]\displaystyle{ V }[/math] — объём газа.

Экспериментальное определение величины показателя адиабаты

Поскольку процессы, происходящие в небольших объёмах газа при прохождении звуковой волны, близки к адиабатическим, показатель адиабаты можно определить, измерив скорость звука в газе. В этом случае показатель адиабаты и скорость звука в газе будут связаны следующим выражением:

[math]\displaystyle{ c = \sqrt{\frac{\gamma kT}{m}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — показатель адиабаты; [math]\displaystyle{ k }[/math] — постоянная Больцмана; [math]\displaystyle{ R }[/math] — универсальная газовая постоянная; [math]\displaystyle{ T }[/math] — абсолютная температура в кельвинах; [math]\displaystyle{ m }[/math] — молекулярная масса; [math]\displaystyle{ M }[/math] — молярная масса.

Другим способом экспериментального определения величины показателя адиабаты является метод Клемана — Дезорма, который часто используется в учебных целях при выполнении лабораторных работ. Метод основан на изучении параметров некоторой массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя последовательными процессами: адиабатическим и изохорическим.

Лабораторная установка включает стеклянный баллон, соединённый с манометром, краном и резиновой грушей. Груша служит для нагнетания воздуха в баллон. Специальный зажим предотвращает утечку воздуха из баллона. Манометр измеряет разность давлений внутри и вне баллона. Кран может выпускать воздух из баллона в атмосферу.

Пусть первоначально в баллоне было атмосферное давление и комнатная температура. Процесс выполнения работы можно условно разбить на два этапа, каждый из которых включает в себя адиабатный и изохорный процесс.

1-й этап:
При закрытом кране накачиваем в баллон небольшое количество воздуха и зажимаем шланг зажимом. При этом давление и температура в баллоне повысятся. Это адиабатический процесс. Со временем давление в баллоне начнёт уменьшаться вследствие того, что газ в баллоне начнёт охлаждаться за счёт теплообмена через стенки баллона. При этом давление будет уменьшаться при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравняется с температурой окружающего воздуха, запишем показания манометра [math]\displaystyle{ h_1 }[/math].

2-й этап:
Теперь откроем кран 3 на 1—2 секунды. Воздух в баллоне будет адиабатно расширяться до атмосферного давления. При этом температура в баллоне понизится. Затем кран закроем. Со временем давление в баллоне начнёт увеличиваться вследствие того, что газ в баллоне начнёт нагреваться за счёт теплообмена через стенки баллона. При этом снова будет увеличиваться давление при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравнится с температурой окружающего воздуха, запишем показание манометра [math]\displaystyle{ h_2 }[/math]. Для каждой ветви 2-х этапов можно написать соответствующие уравнения адиабаты и изохоры. Получится система уравнений, которые включают в себя показатель адиабаты. Их приближённое решение приводит к следующей расчётной формуле для искомой величины:

[math]\displaystyle{ \gamma = {h_1 \over {h_1 - h_2}}. }[/math]

Недостатком данного метода является то, что процессы быстрого расширения газа в ходе лабораторной работы не являются чисто адиабатическими ввиду теплообмена через стенку сосудов, а рассматриваемый газ заведомо не является идеальным. И хотя полученная в ходе лабораторной работы величина будет заведомо содержать методическую погрешность, всё же существуют различные способы её устранения, например, за счёт учёта времени расширения и количества подведенного за это время тепла.

См. также

• Теплоёмкость
• Удельная теплоёмкость
• Скорость звука
• Термодинамические уравнения
• Термодинамика
• Объёмная теплоёмкость

Литература

• Партингтон Дж. Р., Раковский А. В. [libgen.io/book/index.php?md5=7e1f282c5a99198778a5d15a18a6018b Курс химической термодинамики] / Пер. с англ. Я. В. Герасимова, проработка и дополнения проф. А. В. Раковского. — 2-е изд., стереотипное. — М.—Л.: Госхимтехиздат, 1932. — 383 с.
• Толпыго К. Б. [www.libgen.io/book/index.php?md5=9D8053F983EF1E982792F381F436A461 Термодинамика и статистическая физика]. — Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1966. — 364 с. (недоступная ссылка)
• Савельев И. В. Курс общей физики: Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.