Перейти к содержанию

Закон смещения Вина

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Кривые зависимостей cпектральной плотности излучения абсолютно чёрных тел с различными температурами от длины волны. Видно, что при возрастании температуры максимум спектральной плотности сдвигается в коротковолновую часть спектра. Именно эту особенность и описывает закон Вина

Зако́н смеще́ния Ви́на — физический закон, устанавливающий зависимость длины волны, на которой спектральная плотность потока излучения чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году, путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению. Соответствующее смещение пика интенсивности с температурой наблюдалось и экспериментально. В настоящее время закон смещения Вина может быть получен математически из закона Планка.

Общий вид закона смещения Вина

Закон выражается формулой

[math]\displaystyle{ \lambda_\text{max} = b/T, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \lambda_\text{max} }[/math] — длина волны излучения с максимальной интенсивностью, а [math]\displaystyle{ T }[/math] — температура. Коэффициент [math]\displaystyle{ b = \frac{ch}{k\alpha} }[/math] (где c — скорость света в вакууме, h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, α ≈ 4,965114… — постоянная величина, корень уравнения [math]\displaystyle{ \alpha / 5 = 1 - e^{-\alpha} }[/math]), называемый постоянной Вина, в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света [math]\displaystyle{ \nu }[/math]герцах) закон смещения Вина имеет вид

[math]\displaystyle{ \nu_\text{max} = \frac{\alpha}{h} kT \approx 5{,}879 \times 10^{10} \cdot T, }[/math]

где α ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения [math]\displaystyle{ \alpha / 3 = 1 - e^{-\alpha} }[/math]), k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — температура (в кельвинах).

Различие численных постоянных здесь обусловлено различием между показателями степени в планковском распределении, записанном для длины волны и частоты излучения: в одном случае входит [math]\displaystyle{ \lambda^{-5} }[/math], в другом — [math]\displaystyle{ \omega^3 \sim \lambda^{-3} }[/math]. Это различие, в свою очередь, возникает из-за нелинейности связи между частотой и длиной волны:

[math]\displaystyle{ \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, \quad \frac{d}{d\omega} = -\frac{\lambda^2}{2\pi c} \frac{d}{d\lambda}. }[/math]

Вывод закона

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для испускательной способности [math]\displaystyle{ \varepsilon_{\lambda}(\lambda, T) }[/math] абсолютно чёрного тела, записанное для длин волн:

[math]\displaystyle{ \varepsilon_{\lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1}. }[/math]

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] и приравнять производную нулю:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\varepsilon_{\lambda}}{\partial \lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^6} \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1} \left( \frac{hc}{kT \lambda}\frac{e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT} - 1\right)} - 5 \right) = 0. }[/math]

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда [math]\displaystyle{ \lambda \to \infty }[/math] или когда [math]\displaystyle{ e^{hc/\lambda kT} \to \infty }[/math], что выполняется при [math]\displaystyle{ \lambda \to 0 }[/math]. Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка [math]\displaystyle{ B(\lambda) }[/math], которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

[math]\displaystyle{ \frac{hc}{kT \lambda} \frac{e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT} - 1\right)} - 5 = 0. }[/math]

Используя замену переменных [math]\displaystyle{ x = \frac{hc}{kT \lambda} }[/math], данное уравнение можно преобразовать к виду

[math]\displaystyle{ \frac{x e^x}{e^x - 1} - 5 = 0. }[/math]

Численное решение этого уравнения даёт[1]

[math]\displaystyle{ x = 4{,}965114231744276\ldots }[/math]

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума:

[math]\displaystyle{ \lambda_\text{max} = \frac{hc}{x} \frac{1}{kT} = \frac{2{,}89776829\ldots \times 10^{-3}}{T}, }[/math]

где температура дана в кельвинах, а [math]\displaystyle{ \lambda_\text{max} }[/math] — в метрах.

Примеры

Согласно закону смещения Вина, чёрное тело с температурой человеческого тела (~310 K) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 мкм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно, эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.

См. также

Примечания

  1. Решение уравнения [math]\displaystyle{ \frac{x e^x}{e^x - 1} = n }[/math] невозможно выразить с помощью элементарных функций. Его точное решение можно найти с помощью W-функции Ламберта, однако в данном случае достаточно воспользоваться приближённым решением.

Ссылки