Закон смещения Вина
Зако́н смеще́ния Ви́на — физический закон, устанавливающий зависимость длины волны, на которой спектральная плотность потока излучения чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.
Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году, путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению. Соответствующее смещение пика интенсивности с температурой наблюдалось и экспериментально. В настоящее время закон смещения Вина может быть получен математически из закона Планка.
Общий вид закона смещения Вина
Закон выражается формулой
- [math]\displaystyle{ \lambda_\text{max} = b/T, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \lambda_\text{max} }[/math] — длина волны излучения с максимальной интенсивностью, а [math]\displaystyle{ T }[/math] — температура. Коэффициент [math]\displaystyle{ b = \frac{ch}{k\alpha} }[/math] (где c — скорость света в вакууме, h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, α ≈ 4,965114… — постоянная величина, корень уравнения [math]\displaystyle{ \alpha / 5 = 1 - e^{-\alpha} }[/math]), называемый постоянной Вина, в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м·К.
Для частоты света [math]\displaystyle{ \nu }[/math] (в герцах) закон смещения Вина имеет вид
- [math]\displaystyle{ \nu_\text{max} = \frac{\alpha}{h} kT \approx 5{,}879 \times 10^{10} \cdot T, }[/math]
где α ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения [math]\displaystyle{ \alpha / 3 = 1 - e^{-\alpha} }[/math]), k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — температура (в кельвинах).
Различие численных постоянных здесь обусловлено различием между показателями степени в планковском распределении, записанном для длины волны и частоты излучения: в одном случае входит [math]\displaystyle{ \lambda^{-5} }[/math], в другом — [math]\displaystyle{ \omega^3 \sim \lambda^{-3} }[/math]. Это различие, в свою очередь, возникает из-за нелинейности связи между частотой и длиной волны:
- [math]\displaystyle{ \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, \quad \frac{d}{d\omega} = -\frac{\lambda^2}{2\pi c} \frac{d}{d\lambda}. }[/math]
Вывод закона
Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для испускательной способности [math]\displaystyle{ \varepsilon_{\lambda}(\lambda, T) }[/math] абсолютно чёрного тела, записанное для длин волн:
- [math]\displaystyle{ \varepsilon_{\lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1}. }[/math]
Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] и приравнять производную нулю:
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial\varepsilon_{\lambda}}{\partial \lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^6} \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1} \left( \frac{hc}{kT \lambda}\frac{e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT} - 1\right)} - 5 \right) = 0. }[/math]
Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда [math]\displaystyle{ \lambda \to \infty }[/math] или когда [math]\displaystyle{ e^{hc/\lambda kT} \to \infty }[/math], что выполняется при [math]\displaystyle{ \lambda \to 0 }[/math]. Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка [math]\displaystyle{ B(\lambda) }[/math], которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда
- [math]\displaystyle{ \frac{hc}{kT \lambda} \frac{e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT} - 1\right)} - 5 = 0. }[/math]
Используя замену переменных [math]\displaystyle{ x = \frac{hc}{kT \lambda} }[/math], данное уравнение можно преобразовать к виду
- [math]\displaystyle{ \frac{x e^x}{e^x - 1} - 5 = 0. }[/math]
Численное решение этого уравнения даёт[1]
- [math]\displaystyle{ x = 4{,}965114231744276\ldots }[/math]
Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума:
- [math]\displaystyle{ \lambda_\text{max} = \frac{hc}{x} \frac{1}{kT} = \frac{2{,}89776829\ldots \times 10^{-3}}{T}, }[/math]
где температура дана в кельвинах, а [math]\displaystyle{ \lambda_\text{max} }[/math] — в метрах.
Примеры
Согласно закону смещения Вина, чёрное тело с температурой человеческого тела (~310 K) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 мкм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.
Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно, эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.
См. также
Примечания
- ↑ Решение уравнения [math]\displaystyle{ \frac{x e^x}{e^x - 1} = n }[/math] невозможно выразить с помощью элементарных функций. Его точное решение можно найти с помощью W-функции Ламберта, однако в данном случае достаточно воспользоваться приближённым решением.
Ссылки
- Мир физики Эрика Вейстейна (англ.)
- Soffer, B. H.; Lynch, D. K. Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision (англ.) // American Journal of Physics : journal. — 1999. — Vol. 67, no. 11. — P. 946—953. — doi:10.1119/1.19170. — .
- Heald, M. A. Where is the 'Wien peak'? (англ.) // American Journal of Physics. — 2003. — Vol. 71, no. 12. — P. 1322—1323. — doi:10.1119/1.1604387. — .