Центральная симметрия
Центра́льной симметри́ей относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через [math]\displaystyle{ Z_A }[/math], в то время как обозначение [math]\displaystyle{ S_A }[/math] можно перепутать с осевой симметрией. Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.
Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A. Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является поворотом на 180 градусов.
Векторная запись
- Пусть G — оператор центральной симметрии, точка A задана радиус-вектором [math]\displaystyle{ \vec{r_A} }[/math], а преобразовываемая точка задается радиус-вектором [math]\displaystyle{ \vec{x} }[/math]. Тогда имеет место следующая формула:
- [math]\displaystyle{ G(\vec{x}) = 2\vec{r_A} - \vec{x} }[/math]
Связанные определения
- Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки [math]\displaystyle{ A }[/math], то [math]\displaystyle{ A }[/math] называют центром симметрии этой фигуры, а сама фигура называется центрально-симметричной.
Свойства
- Центральная симметрия является движением (изометрией).
- В n-мерном пространстве если преобразование R является последовательным отражением относительно n взаимно перпендикулярных гиперплоскостей, то R - центральная симметрия относительно общей точки этих гиперплоскостей. Как следствие:
- В чётномерных пространствах центральная симметрия сохраняет ориентацию, а в нечётномерных — не сохраняет.
- Центральную симметрию можно представить также как гомотетию с центром A и коэффициентом −1 ([math]\displaystyle{ H_A^{-1} }[/math]).
- Композиция двух центральных симметрий — параллельный перенос на удвоенный вектор из первого центра во второй:
- [math]\displaystyle{ Z_A\circ Z_B = T_{2\vec{AB}} }[/math]
- В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.
- На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром A представляет собой поворот на 180° с центром A ([math]\displaystyle{ R_A^{180} }[/math]). Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.
- Центральную симметрию в трёхмерном пространстве можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.
- В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в 4-мерном смысле, см. Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве), проходящих через центр симметрии.
См. также
Литература
- Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Селиванов Д. Ф. Центр, в геометрии // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.