Функциональный тип

Не следует путать с Тип возвращаемого значения.

Функциональный тип (стрелочный тип, экспоненциал) в информатике — тип переменной или параметра, значением которой или которого может быть функция; либо тип аргумента или возвращаемого значения функции высшего порядка, принимающей или возвращающей функцию.

Функциональный тип зависит от типов параметров и типа результата функции. Другими словами, это тип высшего рода, или, более точно, неприменённый конструктор типов «[math]\displaystyle{ \cdot \to \cdot }[/math]». В теоретических моделях и языках с поддержкой каррирования, например в просто типизированном лямбда-исчислении, функциональный тип зависит ровно от двух типов: области определения [math]\displaystyle{ A }[/math] и области значений [math]\displaystyle{ B }[/math]. В этом случае функциональный тип, следуя математической традиции, обычно записывают как [math]\displaystyle{ A \to B }[/math] (в практических языках программирования — A -> B), или как [math]\displaystyle{ B^A }[/math], подразумевая, что существует ровно [math]\displaystyle{ |B|^{|A|} }[/math] теоретико-множественных функций, отображающих [math]\displaystyle{ A }[/math] на [math]\displaystyle{ B }[/math]. С точки зрения соответствия Карри — Ховарда обитаемость функционального типа [math]\displaystyle{ A \to B }[/math] эквивалентна доказуемости логической импликации [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math].

Функциональный тип можно рассматривать как частный случай зависимого произведения типов. Среди прочих свойств, такое представление несёт в себе идею полиморфной функции.

Языки программирования

В следующую таблицу сведён синтаксис, используемый в различных языках программирования для функциональных типов, а также соответствующие примеры сигнатуры типа для функции композиции функций.

Язык программирования		Нотация	Пример сигнатуры типа
С поддержкой первоклассных функций, параметрического полиморфизма	C++11	std::function<ρ (α1,α2,...,αn)>	function<function<int(int)>(function<int(int)>, function<int(int)>)> compose;
	C#	Func<α1,α2,...,αn,ρ>	Func<A,C> compose(Func<A,B> f, Func<B,C> g);
	Go	func(α1,α2,...,αn) ρ	var compose func(func(int)int, func(int)int) func(int)int
	Haskell	α -> ρ	compose :: (a -> b) -> (b -> c) -> a -> c
	Objective-C/C/C++ с блоками	ρ (^)(α1,α2,...,αn)	int (^compose(int (^f)(int), int (^g)(int)))(int);
	OCaml	α -> ρ	compose : ('a -> 'b) -> ('b -> 'c) -> 'a -> 'c
	Scala	(α1,α2,...,αn) => ρ	def compose[A, B, C](f: B => C, g: A => B): A => C
	Standard ML	α -> ρ	compose : ('a -> 'b) -> ('b -> 'c) -> 'a -> 'c
Без первоклассных функций, параметрического полиморфизма	Си	ρ (*)(α1,α2,...,αn)	int (*compose(int (*f)(int), int (*g)(int)))(int);

Следует обратить внимание, что в примере на C# функция compose имеет тип «Func< Func<A,B>, Func<B,C>, Func<A,C> >».

Денотационная семантика

Функциональный тип в языках программирования не соответствует пространству всех теоретико-множественных функций. Если принять счётно бесконечный тип натуральных чисел в качестве области определения и тип булевых чисел в качестве области значений, то существует несчётное количество ([math]\displaystyle{ 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c} }[/math] — мощность континуума) теоретико-множественных функций между ними. Очевидно, это множество функций заведомо шире множества функций, определимых в языках программирования, так как существует лишь счётное множество программ (где программа представляет собой конечную цепочку из символов конечного набора).

Денотационная семантика занимается поиском более подходящих моделей (называемых областями), в том числе, для моделирования таких понятий языков программирования как функциональный тип. В денотационной семантике считается, что целесообразно не ограничиваться лишь вычислимыми функциями, а использовать любые непрерывные по Скотту функции на частично упорядоченных множествах, которыми возможно смоделировать также и незавершимые вычисления (а таковые возникают во всяком полном по Тьюрингу языке). Средства теории областей, используемые в денотационной семантике, достаточно выразительны, например, непрерывной по Скотту функцией моделируется «parallel or», определимый далеко не во всех языках программирования.

См. также

• Декартово замкнутая категория
• Экспоненциал — эквивалент в теории категорий
• Функции первого класса

Ссылки

• Бенджамин Пирс. Types and Programming Languages. — The MIT Press. — С. 99-100.
• Джон Митчел. Foundations for Programming Languages. — The MIT Press, 1996.
• Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics, The Univalent Foundations Program (англ.). Institute for Advanced Study (2013). — раздел 1.2