Атлас (топология)

Атлас — понятие дифференциальной геометрии, позволяющее вводить на многообразии дополнительные структуры; например, гладкую структуру или комплексную структуру.

Атлас состоит из отдельных карт, которые описывают отдельные области многообразия. Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова «карта» и «атлас» приобретают свои обычные значения.

Определения

Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] — числовое поле (например [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]), [math]\displaystyle{ X }[/math] — топологическое пространство.

• Карта — это пара [math]\displaystyle{ (U,f) }[/math], где

[math]\displaystyle{ U }[/math] — открытое множество в [math]\displaystyle{ X }[/math]

[math]\displaystyle{ f }[/math] — гомеоморфизм из [math]\displaystyle{ U }[/math] в открытое множество в [math]\displaystyle{ K^n }[/math]

• Локальная карта вводит в [math]\displaystyle{ U }[/math] криволинейные координаты, сопоставляя точке [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(t) }[/math] набор чисел [math]\displaystyle{ t=(t^1,...,t^n) }[/math]

• Если области определения двух карт [math]\displaystyle{ (U_1,f_1) }[/math] и [math]\displaystyle{ (U_2,f_2) }[/math] пересекаются ([math]\displaystyle{ U_1 \cap U_2 \neq \emptyset }[/math]), то между множествами [math]\displaystyle{ f_1(U_2) }[/math] и [math]\displaystyle{ f_2(U_1) }[/math] имеются взаимно обратные отображения (гомеоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки :

  [math]\displaystyle{ \begin{matrix} f_{12}= f_1\circ f_2^{-1}|_{f_2(U_1 \cap U_2)} &: \ f_2(U_1 \cap U_2) \to f_1(U_1 \cap U_2) \\ f_{21}= f_2\circ f_1^{-1}|_{f_1(U_1 \cap U_2)} &: \ f_1(U_1 \cap U_2) \to f_2(U_1 \cap U_2) \end{matrix} }[/math]

• Атлас — это множество согласованных карт [math]\displaystyle{ \{(U_\alpha,f_\alpha)\} }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathcal A }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ \{U_\alpha\} }[/math] образует покрытие пространства [math]\displaystyle{ X }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ \mathcal A }[/math] — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса [math]\displaystyle{ C^k }[/math]) или аналитическим, если функции замены координат [math]\displaystyle{ f_{\alpha_1\alpha_2} }[/math] для всех карт гладкие (класса [math]\displaystyle{ C^k }[/math]) или аналитические.

Связанные определения

• Два гладких (аналитических) атласа называются согласованными, если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.