Фуксова особая точка
В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка [math]\displaystyle{ t=t_0\in \C }[/math] называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения
- [math]\displaystyle{ \dot{z}=A(t)z, \quad z\in \C^n, \quad t\in \C, }[/math]
если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это — простейшая возможная особенность линейного дифференциального уравнения с комплексным временем.
Говорят также, что [math]\displaystyle{ t=\infty }[/math] является фуксовой особой точкой, если точка [math]\displaystyle{ s=0 }[/math] оказывается фуксовой после замены [math]\displaystyle{ t=1/s }[/math], иными словами, если матрица системы [math]\displaystyle{ A(t) }[/math] стремится к нулю на бесконечности.
Простейший пример
Одномерное дифференциальное уравнение [math]\displaystyle{ \dot{z}=\frac{a}{t} z }[/math] имеет фуксову особую точку в нуле, а его решениями являются (вообще говоря, многозначные) функции [math]\displaystyle{ z(t)=C\cdot t^a }[/math]. При обходе вокруг нуля решение при этом умножается на [math]\displaystyle{ \lambda=e^{2\pi i a} }[/math].
Рост решений и отображение монодромии
При приближении к фуксовой особой точке в любом секторе норма решения растёт не быстрее, чем полиномиально:
- [math]\displaystyle{ \|z(t-t_0)\|\le C \|t-t_0\|^{-N} }[/math]
для некоторых констант [math]\displaystyle{ C }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math]. Тем самым, всякая фуксова особая точка является регулярной.
 | Этот раздел статьи ещё не написан. |
Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака-Левелля
| Этот раздел статьи ещё не написан. |
21-я проблема Гильберта
Двадцать первая проблема Гильберта состояла в том, чтобы при заданных точках на сфере Римана и представлении фундаментальной группы дополнения к ним построить систему дифференциальных уравнений с фуксовыми особенностями в этих точках, для которой монодромия оказывается заданным представлением. Долгое время считалось, что эта проблема была положительно решена Племелем (опубликовавшим решение в 1908 году), однако в его решении в 1970-х годах Ю. С. Ильяшенко была обнаружена ошибка. На самом деле, конструкция Племеля позволяла строить требуемую систему при диагонализуемости хотя бы одной из матриц монодромии.[1]
В 1989 году А. А. Болибрухом был опубликован[2] пример набора особых точек и матриц монодромии, который не может быть реализован никакой фуксовой системой — тем самым, отрицательно решающий проблему.
Литература
- ↑ Ю. С. Ильяшенко, «Нелинейная проблема Римана-Гильберта», Дифференциальные уравнения с вещественным и комплексным временем, Сборник статей, Тр. МИАН, 213, Наука, М., 1997, с. 10-34.
- ↑ А. А. Болибрух, «Проблема Римана-Гильберта на комплексной проективной прямой», Матем. заметки, 46:3 (1989), 118—120
- А. А. Болибрух, Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений, М.: МЦНМО, 2009.
- Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations, AMS, 2007.