Формула Гаусса

Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гаусова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] — двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве [math]\displaystyle{ M }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ K_S(x)=K_M(\sigma_S(x))+\kappa_1(x)\kappa_2(x), }[/math]

где

• [math]\displaystyle{ K_S }[/math] — гауссова кривизна поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x\in S }[/math],
• [math]\displaystyle{ K_M(\sigma_S(x)) }[/math] — секционная кривизна пространства [math]\displaystyle{ M }[/math] в направлении [math]\displaystyle{ \sigma_S(x) }[/math], касательном к поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math],
• [math]\displaystyle{ \kappa_1(x) }[/math], [math]\displaystyle{ \kappa_2(x) }[/math] — главные кривизны поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x. }[/math]

Обобщение на большие размерности

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия [math]\displaystyle{ S\subset M }[/math]. В этом случае тензор кривизны [math]\displaystyle{ R_S }[/math] подмногообразия [math]\displaystyle{ S }[/math] выражается через сужение тензора кривизны [math]\displaystyle{ R_M }[/math] пространства [math]\displaystyle{ M }[/math] на подпространство касательное к [math]\displaystyle{ S }[/math] и вторую квадратичную форму [math]\displaystyle{ q_S }[/math] подмногообразия [math]\displaystyle{ S }[/math] на касательном пространстве [math]\displaystyle{ TS }[/math] со значениями в нормальном пространстве к [math]\displaystyle{ S }[/math]:

[math]\displaystyle{ \langle R_S(X,Y)Z,W\rangle=\langle R_M(X,Y)Z,W\rangle + \langle q_S(Y,W),q_S(X,Z)\rangle-\langle q_S(X,W),q_S(Y,Z)\rangle. }[/math]

Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов.

См. также

• Формула Гаусса — Бонне

Литература

• 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.
• 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.