Трёхгранник Френе

Репер Френе и соприкасающаяся плоскость кривой.

Трёхгранник Френе, движущийся по винтовой линии на торе

Репер или трёхгранник Френе или Френе — Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых, то есть таких, что первая и вторая производная линейно независимы в любой точке.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ r(s) }[/math] — произвольная натурально параметризованная бирегулярная кривая в евклидовом пространстве. Под репером Френе понимают тройку векторов [math]\displaystyle{ \tau }[/math], [math]\displaystyle{ \nu }[/math], [math]\displaystyle{ \beta }[/math], сопоставленную каждой точке бирегулярной кривой [math]\displaystyle{ r(s) }[/math], где

• [math]\displaystyle{ \tau = \dot{r}(s) }[/math] — единичный касательный вектор,
• [math]\displaystyle{ \nu = \frac{\ddot{r}(s)}{||\ddot{r}(s)||} }[/math] — единичный вектор главной нормали,
• [math]\displaystyle{ \beta = [\tau,\nu] }[/math] — единичный вектор бинормали к кривой в данной точке.

Свойства

• Если [math]\displaystyle{ s }[/math] — естественный параметр [math]\displaystyle{ s }[/math] кривой, то векторы [math]\displaystyle{ {\tau}, {\nu}, {\beta} }[/math] связаны соотношениями:

  [math]\displaystyle{ \begin{aligned}\dot{\tau} &= k\cdot {\nu}, \\ \dot{\nu} &= - k\cdot {\tau} + t\cdot{\beta}, \\ \dot{\beta} &= - t\cdot {\nu},\end{aligned} }[/math]

называемыми формулами Френе. Величины

[math]\displaystyle{ k = ||\ddot\gamma (s)||, \quad t = - \langle \dot{\beta},\; {\nu} \rangle }[/math]

называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке.

• Функции [math]\displaystyle{ k(s) }[/math] и [math]\displaystyle{ t(s), }[/math] определяют кривую с точностью до движения пространства.
  • Более того в случае если [math]\displaystyle{ k(s)\gt 0 }[/math], такая кривая существует.

Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника

Трёхгранник Френе играет важную роль в кинематике точки при описании её движения в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной бирегулярной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору [math]\displaystyle{ {v} = v {\tau} }[/math]. Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения: [math]\displaystyle{ {a} = \dot{v} {\tau} + v^2 k {\nu} }[/math]. Компоненту при векторе [math]\displaystyle{ {\tau} }[/math] называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе [math]\displaystyle{ {\nu} }[/math] называют нормальным ускорением. Она показывает, как меняется направление движения точки.

Вариации и обобщения

При описании плоских кривых часто вводят понятие так называемой ориентированной кривизны.

Пусть [math]\displaystyle{ \gamma(s) }[/math] — произвольная натурально параметризованная плоская регулярная кривая. Рассмотрим семейство единичных нормалей [math]\displaystyle{ {\nu _o} }[/math], таких что двойка [math]\displaystyle{ ({\tau},{\nu _o}) }[/math] образуют правый базис в каждой точке [math]\displaystyle{ \mathbf \gamma(s) }[/math]. Ориентированной кривизной кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] в точке [math]\displaystyle{ s }[/math] называют число [math]\displaystyle{ k _o = \langle \ddot\gamma (s),\; {\nu _o} \rangle }[/math]. В сделанных предположениях имеет место следующая система уравнений, называемая формулами Френе для ориентированной кривизны

[math]\displaystyle{ \dot{\tau} = k _o {\nu _o} \quad \dot{\nu _o} = -k _o {\tau} }[/math].

По аналогии с трёхмерным случаем, уравнения вида [math]\displaystyle{ k _o = f(s) }[/math] называются натуральными уравнениями плоской регулярной кривой и полностью её определяют.

См. также

• Трёхгранник Дарбу — аналогичная конструкция для кривой на поверхности.

Литература

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.